Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m

Với giải Bài 7.35 trang 46 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 22: Ba đường conic giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 22: Ba đường conic

Bài 7.35 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8 m thì có chiều rộng không quá 3 m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8 m có thể đi qua hầm được không?

Sách bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (trong đó a > b > 0).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên OA = 12 : 2 = 6 (m), do đó điểm A có tọa độ (6; 0).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên OB = 3 m, do đó điểm B có tọa độ (0; 3).

Do các điểm B(0; 3) và A(6; 0) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có:

$\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 3^{2} = 9 \frac{6^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 6^{2} = 36$

Suy ra phương trình của (E) là

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe khoảng 3 : 2 = 1,5 m, tương ứng với x = 1,5. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trục Ox.

$\frac{{x_{M}}^{2}}{36} + \frac{{y_{M}}^{2}}{9} = 1$

Suy ra: $y_{M} = 3. \sqrt{1 - \frac{x_{M}^{2}}{36}} = 3. \sqrt{1 - \frac{{1,5}^{2}}{36}} \approx 2,905 > 2,8$