Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài 41 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. (−3x – 1)² + (y – 3)² + (z – 4)² = 12².

B. x² + (y + 5)² + (7z – 9)² = 11².

C. (x – 2)² + (5y – 1)² + (z – 8)² = 19².

D. x² + (y + 5)² + (z – 18)² = 14².

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình x² + (y + 5)² + (z – 18)² = 14² có dạng phương trình mặt cầu.

Bài 42 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. x² + y² + z² – 2y – 4z + 20 = 0.

B. x² + y² + z² – 6x – 2y + 2z + 2 = 0.

C. x² + y² + z² + 2x – 6y + 54 = 0.

D. x² + y² + z² – 4x + 2y – 2z + 40 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Trong các phương trình, chỉ có phương trình x² + y² + z² – 6x – 2y + 2z + 2 = 0 thỏa mãn điều kiện a² + b² + c² – d > 0 với a = 3, b = 1, c = –1, d = 2.

Suy ra phương trình trên là phương trình mặt cầu.

Bài 43 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Tâm của mặt cầu (S): (x + 5)² + (y – 6)² + (z + 7)² = 64 có tọa độ là:

A. (−5; 6; −7).

B. (5; −6; 7).

C. (−5; −6; 7).

D. (5; −6; −7).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có mặt cầu (S): (x + 5)² + (y – 6)² + (z + 7)² = 64

                         ⇔ [x – (−5)]² + (y – 6)² + [z – (−7)]² = 64.

Vậy tâm mặt cầu có tọa độ (−5; 6; −7).

Bài 44 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Tâm của mặt cầu (S): x² + y² + z² – x – 10z – 6 = 0 có tọa độ là:

A. $\left(-\frac{1}{2};0;-5\right)$

B. $\left(\frac{1}{2};0;3\right).$

C. $\left(\frac{1}{2};0;5\right).$

D. $\left(-\frac{1}{2};0;-3\right).$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có mặt cầu (S): x² + y² + z² – x – 10z – 6 = 0

⇔ x² – x + y² + z² – 10z – 6 = 0

⇔ x² – 2.$\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{4}$ + y² + z² – 10z + 5² – 6 − $\frac{1}{4}$ − 5² = 0

⇔ ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$ + y² + (z – 5)² = $\frac{125}{4}$.

Vậy tâm của mặt cầu có tọa độ $\left(\frac{1}{2};0;5\right)$

Bài 45 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Bán kính của mặt cầu (S): (x + 9)² + (y – 16)² + (z + 25)² = 16 bằng:

A. 4.

B. 256.

C. 8.

D. 16.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình mặt cầu (S): (x + 9)² + (y – 16)² + (z + 25)² = 16 hay

(x + 9)² + (y – 16)² + (z + 25)² = 4².

Vậy bán kính mặt cầu là 4.

Bài 46 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Bán kính của mặt cầu (S): x² + y² + z² – 10x – 4y – 2z + 5 = 0 bằng:

A. 25.

B. 10.

C. 5.

D. 225.      

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có (S): x² + y² + z² – 10x – 4y – 2z + 5 = 0

Bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ với a = 5, b = 2, z = 1, d = 5

Khi đó, R = $\sqrt{5^2+2^2+1^2-5}$ = 5.

Vậy bán kính mặt cầu bằng 5.

Bài 47 trang 66 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình mặt cầu tâm I(−11; −13; 15) bán kính 9 là:

A. (x + 11)² + (y + 13)² + (z – 15)² = 9.

B. (x + 11)² + (y + 13)² + (z – 15)² = 81.

C. (x – 11)² + (y – 13)² + (z + 15)² = 9.

D. (x – 11)² + (y – 13)² + (z + 15)² = 81.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu tâm I(−11; −13; 15) bán kính 9 là:

[x − (−11)]² + [y − (−13)]² + (z – 15)² = 9².

⇔ (x + 11)² + (y + 13)² + (z – 15)² = 81.

Bài 48 trang 66 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm I(−2; 4; 5) và M(1; 2; 7). Mặt cầu tâm I đi qua điểm M có phương trình là:

A. (x – 2)² + (y + 4)² + (z + 5)² =$\sqrt{17}$.

B. (x + 2)² + (y – 4)² + (z – 5)² =$\sqrt{17}$.

C. (x – 2)² + (y + 4)² + (z + 5)² =$\sqrt{17}$.

D. (x + 2)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 17.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{IM}$ = (3; −2; 2). Do đó, IM = $\sqrt{3^2+{(-2)}^2+2^2}$ = $\sqrt{17}$.

Khi đó, bán kính của mặt cầu tâm I, đi qua điểm M là R = IM = $\sqrt{17}$.

Phương trình mặt cầu này là: (x + 2)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 17.

Bài 49 trang 66 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm A(−12; 3; 7) và B(−10; −1; 5). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là:

A. (x + 11)² + (y – 1)² + (z – 6)² = 6.

B. (x + 11)² + (y – 1)² + (z – 6)² = $\sqrt{24}$

C. (x + 11)² + (y – 1)² + (z – 6)² = 36.

D. (x – 11)² + (y + 1)² + (z + 6)² = 24.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi I(x; y; z) là trung điểm của AB. Khi đó, I chính là tâm mặt cầu đường kính AB.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-12+(-10)}{2}\\ y=\frac{3+(-1)}{2}\\ z=\frac{7+5}{2}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-11\\ y=1\\ z=6\end{array}\right.$. Suy ra I(–11; 1; 6).

Bán kính R = IA = $\sqrt{{[-12-(-11\left)\right]}^2+{(3-1)}^2+{(7-6)}^2}$$=\sqrt{6}$.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:

(x + 11)² + (y – 1)² + (z – 6)² = 6.

Bài 50 trang 66 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm M(0; −1; 1) và N(4; 1; 5).

Lời giải:

Mặt cầu đường kính MN có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng MN và có tọa độ:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{0+4}{2}\\ y=\frac{-1+1}{2}\\ z=\frac{1+5}{2}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\\ z=3\end{array}\right.$⇒ I(2; 0; 3).

Bán kính mặt cầu đường kính MN là: R = IM = $\sqrt{{(0-2)}^2+{(-1-0)}^2+{(1-3)}^2}$= 3.

Phương trình mặt cầu đường kính MN là:

(x – 2)² + y² + (z – 3)² = 3² hay (x – 2)² + y² + (z – 3)² = 9.

Bài 51 trang 66 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + (y + 4)² + (z + 5)² = 49.

a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

b) Điểm A(0; 3; −5) có thuộc mặt cầu (S) hay không?

c) Điểm B(1; −4; −1) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S)?

d) Điểm C(7; 3; −5) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S)?

e) Lập phương trình tham số của đường thẳng IC.

g) Xác định tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng IC và mặt cầu.

Lời giải:

a) Ta có: x² + (y + 4)² + (z + 5)² = 49

          ⇔ (x – 0)² + [y – (−4)]² + [z – (−5)]² = 7².

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(0; −4; −5) và bán kính R = 7.

b) Thay A(0; 3; −5) vào mặt cầu (S), ta có: 0² + (3 + 4)² + (−5 + 5)² = 7² = 49.

Vậy A(0; 3; −5) có thuộc mặt cầu (S).

c) Ta có IB = $\sqrt{{(1-0)}^2+{[-4-(-4\left)\right]}^2+{[-1-(-5\left)\right]}^2}$ = $\sqrt{17}$ < R nên B nằm trong mặt cầu.

d) Ta có IC = $\sqrt{{(7-0)}^2+{[3-(-4\left)\right]}^2+{[-5-(-5\left)\right]}^2}$ = 7$\sqrt{2}$ > R nên C nằm ngoài mặt cầu.

e) Ta có:  $\overrightarrow{IC}$ = (7; 7; 0). Chọn $\overrightarrow{u}$ = $\frac{1}{7}\overrightarrow{IC}$ = (1; 1; 0) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng IC.

Suy ra, phương trình tham số đường thẳng IC là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-4+t\\ z=-5\end{array}\right.$ (t là tham số).

g) Tọa độ giao điểm của đường thẳng IC và mặt cầu (S) tương ứng với tham số t thỏa mãn: t² + (−4 + t + 4)² + (−5 + 5)² = 49 ⇔ 2t² = 49 ⇔ t = $\pm \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Vậy M$\left(\frac{7\sqrt{2}}{2};-4+\frac{7\sqrt{2}}{2};-5\right)$; N$\left(-\frac{7\sqrt{2}}{2};-4-\frac{7\sqrt{2}}{2};-5\right)$

Bài 52 trang 6 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(3; −4; 5) bán kính 9.

b) (S) có tâm K(−4; 6; 7) và đi điểm H(−5; 4; 5).

c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; −1) và B(−1; −1; −5).

Lời giải:

a) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; −4; 5) bán kính 9 là:

(x – 3)² + (y + 4)² + (z – 5)² = 9² hay (x – 3)² + (y + 4)² + (z – 5)² = 81.

b) Ta có bán kính R = HK = $\sqrt{{[-4-(-5\left)\right]}^2+{(6-4)}^2+{(7-5)}^2}$ = 3.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm K(−4; 6; 7) và đi điểm H(−5; 4; 5) là:

(x + 4)² + (y – 6)² + (z – 7)² = 3² hay (x + 4)² + (y – 6)² + (z – 7)² = 9.

c) Tâm I(x; y; z) của mặt cầu là trung điểm của AB và có tọa độ là:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+(-1)}{2}=0\\ y=\frac{3+(-1)}{2}=1\\ z=\frac{-1+(-5)}{2}=-3\end{array}\right.$ ⇒ I(0; 1; −3).

Có bán kính R = IA = $\sqrt{{(1-0)}^2+{(3-1)}^2+{[-1-(-3\left)\right]}^2}$ = 3.

Phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 3; −1) và B(−1; −1; −5) là:

x² + (y – 1)² + (z + 3)² = 9

Bài 53 trang 67 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính 2.

a) Lập phương trình mặt cầu (S).

b) Lấy các điểm A(1; 0; −1) và B(1; 1; 0). Lập phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm C và D là giao điểm của đường thẳng AB và mặt cầu (S).

Lời giải:

a) Phương trình mặt cầu (S) là: x² + y² + z² = 2² hay x² + y² + z² = 4.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (0; 1; 1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình đường thẳng AB là: $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t\\ z=-1+t\end{array}\right.$ (t là tham số).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt cầu (S) tương ứng với số t thỏa mãn:

1² + t² + (−1 + t)² = 4 ⇔ 2t² – 2t – 2 = 0 ⇔ t = $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ 

Vậy $C\left(1;\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right); D\left(1;\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)$

Bài 54 trang 67 SBT Toán 12 Tập 2: Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở một vị trí phù hợp khi tâm bão có tọa độ (300; 200; 1) (Hình 6).

a) Lập phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật từ cấp 12 trở lên khoảng 100 km tính từ tâm bão.

b) Tại một vị trí có tọa độ (350; 245; 1) thì có bị ảnh hưởng bởi cơn bão được mô tả ở câu a hay không?

Lời giải:

a) Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x – 300)² + (y – 200)² + (z – 1)² = 100².

b) Khoảng cách từ vị trí có tọa độ (350; 245; 1) đến tâm bão là:

d = $\sqrt{{(350-300)}^2+{(245-200)}^2+{(1-1)}^2}$ = $\sqrt{4525}$ < 100 hay d < R.

Vậy vị trí có tọa độ (350; 245; 1) bị ảnh hưởng bởi cơn bão.

Lý thuyết Phương trình mặt cầu

1. Định nghĩa mặt cầu

Cho trước điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I một khoảng bằng R.

Nhận xét

+ Điểm M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM = R.

+ Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM < R.

+ Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM > R.

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 4) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(4; 3; 2). Tính bán kính của mặt cầu đó.

Hướng dẫn giải

Vì mặt cầu tâm I đi qua điểm A nên điểm A thuộc mặt cầu tâm I, do đó bán kính của mặt cầu tâm I là R = IA.

Ta có IA = $\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(3-2\right)}^2+{\left(2-4\right)}^2}=\sqrt{14}$.

Vậy bán kính của mặt cầu đã cho là R = $\sqrt{14}$ .

2. Phương trình mặt cầu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; 4; 3) bán kính R = 5.

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu tâm I(1; 4; 3) bán kính R = 5 là:

(x – 1)² + (y – 4)² + (z – 3)² = 25.

Nhận xét:

● Cho mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Ta có thể viết phương trình đó về dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – R².

Vậy mỗi mặt cầu đều có phương trình dạng: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

● Ngược lại, xét phương trình có dạng: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Ta có: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

⇔ x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² + z² – 2cz + c² = a² + b² + c² – d

⇔ (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = a² + b² + c² – d.

Do đó, phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 xác định một mặt cầu khi và chỉ khi a² + b² + c² – d > 0. Ngoài ra, nếu a² + b² + c² – d > 0 thì phương trình đó xác định mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.

a) x² + y² + z² + x – 2y + 4z – 3 = 0;

b) x² + y² + z² + 2x + 4y – 4z + 12 = 0;

c) 2x² + y² + 2z² – 2x + 2y – 2z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho tương ứng với $a=-\frac{1}{2}$ ; b = 1; c = −2 và d = −3.

Có a² + b² + c² – d = $\frac{33}{4}>0$ .

Do đó, đây là phương trình mặt cầu với tâm $I\left(-\frac{1}{2};1;-2\right);R=\frac{\sqrt{33}}{2}$.

b) Phương trình đã cho tương ứng với a = −1; b = −2; c = 2; d = 12.

Có a² + b² + c² – d = −3 < 0 nên đây không phải là phương trình của một mặt cầu.

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của x² và y² khác nhau.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác: