Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Cánh diều): Phương trình đường thẳng

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 31-10-2024 Lớp 12

Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

Bài 22 trang 56 SBT Toán 12 Tập 2: Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\{\begin{cases} x = 7 \\ y = - 9 + t \\ z = 16 \end{cases}$ ?

A. $\vec{u_{1}}$ = (7; 9; −16).

B. $\vec{u_{2}}$ = (7; −9; 16).

C. $\vec{u_{3}}$ = (0; 1; 0).

D. $\vec{u_{4}}$ = (−7; 9; −16).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\{\begin{cases} x = 7 \\ y = - 9 + t \\ z = 16 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} x = 7 + 0 t \\ y = - 9 + t \\ z = 16 + 0 t \end{cases}$ .

Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng là: (0; 1; 0).

Bài 23 trang 56 SBT Toán 12 Tập 2: Đường thẳng đi qua điểm A(−8; −3; 7) và nhận = (3; −4; 2) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

A. $\{\begin{cases} x = 3 - 8 t \\ y = - 4 - 3 t \\ z = 2 + 7 t . \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 8 + 3 t \\ y = - 3 + 4 t \\ z = 7 + 2 t . \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + 8 t \\ y = - 4 + 3 t \\ z = 2 + 7 t . \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = - 8 + 3 t \\ y = - 3 - 4 t \\ z = 7 + 2 t . \end{cases}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng đi qua điểm A(−8; −3; 7) và nhận $\vec{u}$ = (3; −4; 2) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = - 8 + 3 t \\ y = - 3 - 4 t \\ z = 7 + 2 t . \end{cases}$

Bài 24 trang 57 SBT Toán 12 Tập 2: Đường thẳng đi qua điểm B(5; −2; 9) và nhận $\vec{u}$ = (−17; 2; −11) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x + 5}{- 17} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 9}{- 11} .$

B. $\frac{x - 17}{5} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 11}{9} .$

C. $\frac{x - 5}{- 17} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 9}{- 11} .$

D. $\frac{x + 17}{- 7} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 11}{9} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua điểm B(5; −2; 9) và nhận $\vec{u}$ = (−17; 2; −11) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{x - 5}{- 17} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 9}{- 11} .$

Bài 25 trang 57 SBT Toán 12 Tập 2: Đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc là: $\frac{x + 1}{- 7} = \frac{y + 3}{- 8} = \frac{z - 2}{1}$ . Phương trình tham số của ∆ là:

A. $\{\begin{cases} x = 1 - 7 t \\ y = 3 - 8 t \\ z = - 2 + t . \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 1 + 7 t \\ y = - 3 + 8 t \\ z = 2 + t . \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = - 1 - 7 t \\ y = 3 - 8 t \\ z = 2 + t . \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = - 1 - 7 t \\ y = - 3 - 8 t \\ z = 2 + t . \end{cases}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta đặt $\frac{x + 1}{- 7} = \frac{y + 3}{- 8} = \frac{z - 2}{1}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = - 1 - 7 t \\ y = - 3 - 8 t \\ z = 2 + t \end{cases}$

Vậy Phương trình tham số ∆ là: $\{\begin{cases} x = - 1 - 7 t \\ y = - 3 - 8 t \\ z = 2 + t \end{cases}$

Bài 26 trang 57 SBT Toán 12 Tập 2: Đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = - 2 - 21 t \\ y = 3 + 5 t \\ z = - 6 - 19 t . \end{cases}$ . Phương trình chính tắc của ∆ là:

A. $\frac{x + 21}{- 2} = \frac{y - 5}{3} = \frac{z + 19}{- 6} .$

B. $\frac{x + 2}{- 21} = \frac{y - 3}{5} = \frac{z + 6}{- 19} .$

C. $\frac{x + 2}{21} = \frac{y - 3}{5} = \frac{z + 6}{19} .$

D. $\frac{x - 2}{- 21} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z - 6}{- 19} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\{\begin{cases} x = - 2 - 21 t \\ y = 3 + 5 t \\ z = - 6 - 19 t . \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} t = \frac{x + 2}{- 21} \\ t = \frac{y - 3}{5} \\ t = \frac{z + 6}{- 19} \end{cases}$ $\Rightarrow \frac{x + 2}{- 21} = \frac{y - 3}{5} = \frac{z + 6}{- 19} .$

Bài 27 trang 57 SBT Toán 12 Tập 2: Đường thẳng đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình tham số là:

A. $\{\begin{cases} x = x_{0} \\ y = y_{0} \\ z = t . \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = t \\ y = y_{0} \\ z = z_{0} . \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = x_{0} \\ y = t \\ z = z_{0} . \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = x_{0} + t \\ y = y_{0} + t \\ z = z_{0} + t . \end{cases}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: Không có đáp án

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến $\vec{k} = (0; 0; 1) .$

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên nhận $\vec{k} = (0; 0; 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = x_{0} \\ y = y_{0} \\ z = z_{0} + t . \end{cases}$

Bài 28 trang 57 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số $\{\begin{cases} x = a t \\ y = b t \\ z = c t \end{cases}$ với a² + b² + c² > 0. Côsin của góc giữa đường thẳng ∆ và trục Oz bằng:

A. $\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

B. $\frac{| a |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

C. $\frac{| b |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

D. $\frac{| c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\vec{u_{Δ}}$ = (a; b; c), $\vec{k}$ = (0; 0; 1) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ và trục Oz.

Ta có: cos(∆, Oz) = $\frac{| \vec{u_{Δ}} . \vec{k} |}{| \vec{u_{Δ}} | . | \vec{k} |}$ $= \frac{| a .0 + b .0 + c .1 |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}$ $= \frac{| c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Bài 29 trang 58 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số $\{\begin{cases} x = a t \\ y = b t \\ z = c t \end{cases}$ với a² + b² + c² > 0. Sin của góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (Oyz) bằng:

A. $\frac{| a + b + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} .$

B. $\frac{| a |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} .$

C. $\frac{| b |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} .$

D. $\frac{| c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\vec{u_{Δ}}$ = (a; b; c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆, $\vec{i}$ = (1; 0; 0) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).

Ta có: sin(∆, (Oyz)) = $\frac{| 1. a + 0. b + 0. c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0 + 0}}$ $= \frac{| a |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} .$

Bài 30 trang 58 SBT Toán 12 Tập 2: Cho a, b và c khác 0, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P): ax + by + c = 0 và (Q): by + cz + d = 0 bằng:

A. $\frac{b^{2}}{\sqrt{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2} + d^{2})}} .$

B. $\frac{| b |}{\sqrt{(a^{2} + b^{2}) (b^{2} + c^{2})}} .$

C. $\frac{| b |}{\sqrt{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2} + d^{2})}} .$

D. $\frac{b^{2}}{\sqrt{(a^{2} + b^{2}) (b^{2} + c^{2})}} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\vec{n_{P}}$ = (a; b; 0), $\vec{n_{Q}}$ = (0; b; c) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P), (Q).

Do đó, cos((P), (Q)) = $\frac{| a .0 + b . b + 0. c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sqrt{b^{2} + c^{2}}}$ $= \frac{b^{2}}{\sqrt{(a^{2} + b^{2}) (b^{2} + c^{2})}} .$

Bài 31 trang 58 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\frac{x + 2024}{2} = \frac{y + 2025}{3} = \frac{z + 2026}{6}$ và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 1 = 0.

Gọi α là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

a) Vectơ $\vec{u}$ = (2 024; 2 025; 2 026) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.	Đ	S
b) Vectơ có tọa độ (1; 2; 2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).	Đ	S
c) sinα = $\frac{\| \vec{u} . \vec{n} \|}{\| \vec{u} \| . \| \vec{n} \|}$ với $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).	Đ	S
d) α ≈ 50° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).	Đ	S

Lời giải:

a) S

b) S

c) Đ

d) Đ

Vectơ $\vec{u}$ = (2; 3; 6) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Vectơ $\vec{u}$ = (1; −2; −2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Ta có: sinα = sin(∆, (P)) = $\frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |}$ $= \frac{| 2.1 + 3. (- 2) + 6. (- 2) |}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}}$ $= \frac{16}{21}$ .

Suy ra α ≈ 50°.

Bài 32 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P₁): 2x – 3y – 6z + 7 = 0, (P₂): 2x + 2y + z + 8 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂).

a) Vectơ $\vec{n_{1}}$ = (2; −3; −6) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P₁).	Đ	S
b) Vectơ có tọa độ (2; −2; 1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P₂).	Đ	S
c) cosα = $\frac{\| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} \|}{\| \vec{n_{1}} \| . \| \vec{n_{2}} \|}$ với $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P₁), (P₂).	Đ	S
d) α ≈ 69° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Vectơ $\vec{n_{1}}$ = (2; −3; −6) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P₁).

Vectơ $\vec{n_{2}}$ = (2; 2; 1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P₂).

Ta có: cosα = cos((P₁), (P₂)) = $\frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |}$ = $\frac{| 2.2 + (- 3) .2 + (- 6) .1 |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} . \sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 6)}^{2}}}$ $= \frac{8}{21}$

Suy ra α ≈ 68°.

Bài 33 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số: $\{\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = 4 + t \\ z = 5 - 2 t \end{cases}$ (t là tham số).

a) Tìm tọa độ của điểm M thuộc đường thẳng ∆, biết M có hoành độ bằng 5.

b) Chứng minh rằng điểm N(8; 2; 9) thuộc đường thẳng ∆.

c) Chứng minh rằng điểm P(−1; 5; 4) không thuộc đường thẳng ∆. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆', biết ∆' đi qua P và song song với ∆.

d) Tìm tọa độ của điểm I, biết I là giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P): x – y + z + 9 = 0.

Lời giải:

a) Gọi M(5; y_o; z_o), ta có điểm M thuộc đường thẳng ∆ nên

$\{\begin{cases} 5 = 2 - 3 t \\ y_{o} = 4 + t \\ z_{o} = 5 - 2 t \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ y_{o} = 4 + t \\ z_{o} = 5 - 2 t \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ y_{o} = 3 \\ z_{o} = 7 \end{cases}$ => M(5; 3; 7).

b) Thay N(8; 2; 9) vào đường thẳng ∆, ta có:

$\{\begin{cases} 8 = 2 - 3 t \\ 2 = 4 + t \\ 9 = 5 - 2 t \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 2 \\ t = - 2 \\ t = - 2 \end{cases}$ (đúng).

Suy ra tồn tại số thực t thỏa mãn hệ phương trình đó.

Vậy điểm N(8; 2; 9) thuộc đường thẳng ∆.

c) Thay P(−1; 5; 4) vào đường thẳng ∆, ta có:

$\{\begin{cases} - 1 = 2 - 3 t \\ 5 = 4 + t \\ 4 = 5 - 2 t \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ t = 1 \\ t = \frac{1}{2} \end{cases}$ . Suy ra không tồn tại số thực t thỏa mãn hệ phương trình đó.

Vậy điểm P(−1; 5; 4) không thuộc đường thẳng ∆.

Ta có $\vec{u_{Δ}}$ = (−3; 1; −2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Vì ∆ // ∆' nên một vectơ chỉ phương của ∆' là $\vec{u_{Δ'}}$ = (−3; 1; −2).

Phương trình tham số của đường thẳng ∆' đi qua P và song song với ∆ là:

$\{\begin{cases} x = - 1 - 3 t' \\ y = 5 + t' \\ z = 4 - 2 t' \end{cases}$ (t' là tham số).

d) Vì I ∈ ∆ nên I(2 – 3a; 4 + a; 5 – 2a) (a ∈ ℝ).

Mà I ∈ (P) nên (2 – 3a) – (4 + a) + (5 – 2a) + 9 = 0 ⇔ 12 – 6a = 0 hay a = 2.

Vậy I(−4; 6; 1).

Bài 34 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ đi qua điểm A(2; −5; 7) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (−2; 3; 4);

b) ∆ đi qua hai điểm M(−1; 0; 4) và N(2; 5; 3).

c) ∆ đi qua điểm B(3; 2; −1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – 5y + 6z – 7 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của ∆ lần lượt là:

$\{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = - 5 + 3 t \\ z = 7 + 4 t \end{cases}$ (t là tham số) và $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z - 7}{4}$

b) Ta có: $\vec{M N}$ = (3; 5; −1) là một vectơ chỉ phương của ∆.

Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của ∆ lần lượt là:

$\{\begin{cases} x = - 1 + 3 t \\ y = 5 t \\ z = 4 - t \end{cases}$ (t là tham số) và $\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z - 4}{- 1}$

c) Ta có vectơ $\vec{n}$ = (2; −5; 6) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) mà ∆ ⊥ (P) nên $\vec{n}$ = (2; −5; 6) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của ∆ lần lượt là:

$\{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 2 - 5 t \\ z = - 1 + 6 t \end{cases}$ (t là tham số) và $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{- 5} = \frac{z + 1}{6}$

Bài 35 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆₁: $\frac{x + 7}{5} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 2}{- 2}$ và ∆₂: $\{\begin{cases} x = - 5 - 3 t \\ y = - 10 - 4 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases}$ (t là tham số);

b) ∆₁: $\{\begin{cases} x = - 2 + 5 t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{cases}$ (t là tham số) và ∆₂: $\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 1}{- 6};$

c) ∆₁: $\frac{x}{3} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 1}{- 3}$ và ∆₂: $\frac{x - 1}{- 6} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 1}{6} .$

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(−7; 1; −2) và có $\vec{u_{1}}$ = (5; −7; −2) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(−5; −10; 3) và có $\vec{u_{2}}$ = (−3; −4; 7) là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\frac{5}{- 3} \neq \frac{- 7}{- 4}$ , suy ra $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương;

$\vec{M_{1} M_{2}}$ = (2; −11; 5),

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}]$ = $(|\begin{matrix} - 7 & - 2 \\ - 4 & 7 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 5 \\ 7 & - 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 5 & - 7 \\ - 3 & - 4 \end{matrix}|)$ = (−57; −29; −41).

Do $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}}$ = −57.2 + (−29).(−11) + (−41).5 = 0 nên $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ , $\vec{M_{1} M_{2}}$ đồng phẳng.

Vậy ∆₁, ∆₂ cắt nhau.

b) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(−2; 1; 0) và có $\vec{u_{1}}$ = (5; −1; 3) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(−2; 1; 1) và có $\vec{u_{2}}$ = (4; 5; −6) là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\frac{5}{4} \neq \frac{- 1}{5}$ suy ra $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương;

$\vec{M_{1} M_{2}}$ = (0; 0; 1),

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] =$ $(|\begin{matrix} - 1 & 3 \\ 5 & - 6 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 6 & 4 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 5 & - 1 \\ 4 & 5 \end{matrix}|)$ =(−9; 42; 29).

Do $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}}$ = −9.0 + 42.0 + 29.1 = 29 ≠ 0 nên $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ , $\vec{M_{1} M_{2}}$ không đồng phẳng.

Vậy ∆₁, ∆₂ chéo nhau.

c) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(0; −5; 1) và có $\vec{u_{1}}$ = (3; 2; −3) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(1; 3; 1) và có $\vec{u_{2}}$ = (−6; −4; 6) là vectơ chỉ phương.

Ta có: −2 $\vec{u_{1}}$ = $\vec{u_{2}}$ , suy ra $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ cùng phương;

$\vec{M_{1} M_{2}}$ = (1; 8; 0) và $\frac{3}{1} \neq \frac{2}{8}$ nên $\vec{u_{1}}$ , $\vec{M_{1} M_{2}}$ không cùng phương.

Vậy ∆₁ // ∆₂.

Bài 36 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ nếu cần):

a) ∆₁: $\{\begin{cases} x = 3 + 2 t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 0 \end{cases}$ và ∆₂: $\{\begin{cases} x = 7 + t_{2} \\ y = - 3 - t_{2} \\ z = 2 t_{2} \end{cases}$ (t₁, t₂ là tham số);

b) ∆₁: $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 5 - 2 t \\ z = 7 - 2 t \end{cases}$ (t là tham số) và ∆₂: $\frac{x + 4}{2} = \frac{y + 6}{2} = \frac{z - 10}{- 1}$

c) ∆₁: $\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 5}{- 3}$ và ∆₂: $\frac{x}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{- 1}$

Lời giải:

a) Hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec{u}}_{_{Δ_{1}}}$ = (2; 1; 0), ${\vec{u}}_{_{Δ_{2}}}$ = (1; −1; 2).

Ta có: cos (∆₁, ∆₂) = $\frac{| 2.1 + 1. (- 1) + 0.2 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 0^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{30}}{30}$ .

Suy ra (∆₁, ∆₂) ≈ 79°.

b) Hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec{u}}_{_{Δ_{1}}}$ = (1; −2; −2), ${\vec{u}}_{_{Δ_{2}}}$ = (2; 2; −1).

Ta có: cos (∆₁, ∆₂) = $\frac{| 1.2 + (- 2) .2 + (- 2) . (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}}$ = 0.

Suy ra (∆₁, ∆₂) = 90°.

c) Hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec{u}}_{_{Δ_{1}}}$ = (−1; 2; −3), ${\vec{u}}_{_{Δ_{2}}}$ = (2; −1; −1).

Ta có: cos (∆₁, ∆₂) = $\frac{|- 1.2 + 2. (- 1) + (- 3) . (- 1)|}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + {(- 3)}^{2}} . \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}}}$ $= \frac{\sqrt{21}}{42}$ .

Suy ra (∆₁, ∆₂) ≈ 84°.

Bài 37 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ∆: $\{\begin{cases} x = 18 - \sqrt{3} t \\ y = 11 \\ z = 5 + t \end{cases}$ (t là tham số) và (P): x − $\sqrt{3}$ y – z – 3 = 0;

b) ∆: $\frac{x - 8}{2} = \frac{y - 7}{- 3} = \frac{z - 6}{3}$ và (P): 3x – 4y + 5z – 6 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (− $\sqrt{3}$ ; 0; 1) và mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (1; − $\sqrt{3}$ ; −1).

Ta có: sin (∆, (P)) = $\frac{| - \sqrt{3} .1 + 0. (- \sqrt{3}) + 1. (- 1) |}{\sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}}$ $= \frac{\sqrt{15} + \sqrt{5}}{10}$ .

Suy ra (∆, (P)) ≈ 38°.

b) Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; −3; 3) và mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (3; −4; 5).

Ta có: sin (∆, (P)) = $\frac{|2.3 + (- 3) . (- 4) + 3.5|}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2} + 3^{2}} . \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2} + 5^{2}}}$ $= \frac{3 \sqrt{11}}{10}$ .

Suy ra (∆, (P)) ≈ 84°.

Bài 38 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

(P₁): 5x + 12y – 13z + 14 = 0 và (P₂): 3x + 4y + 5z – 6 = 0.

Lời giải:

Hai mặt phẳng (P₁), (P₂) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ = (5; 12; −13), $\vec{n_{2}}$ = (3; 4; 5).

Ta có: cos ((P₁), (P₂)) = $\frac{| 5.3 + 12.4 + (- 13) .5 |}{\sqrt{5^{2} + 12^{2} + {(- 13)}^{2}} . \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 5^{2}}}$ $= \frac{1}{65}$ .

Suy ra ((P₁), (P₂)) ≈ 89°.

Bài 39 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa mặt phẳng (P): x – y = 0 và mặt phẳng (Oyz).

Lời giải:

Hai mặt phẳng (P), (Oyz) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ = (1; −1; 0), $\vec{n_{2}}$ = (1; 0; 0).

Ta có: cos ((P), (Oyz)) = $\frac{| 1.1 + (- 1) .0 + 0.0 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}}$ $= \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Suy ra ((P), (Oyz)) = 45°.

Bài 40 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆₁: $\{\begin{cases} x = 11 - 3 t_{1} \\ y = - 5 + 4 t_{1} \\ z = m t_{1} \end{cases}$ và ∆₂: $\{\begin{cases} x = - 4 + 5 t_{2} \\ y = 2 + 3 t_{2} \\ z = 2 t_{2} \end{cases}$ với m là tham số thực; t₁, t₂ là tham số của phương trình đường thẳng. Tìm m để hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có: $\vec{u_{1}}$ = (−3; 4; m), $\vec{u_{2}}$ = (5; 3; 2) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ∆₁, ∆₂.

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi hai vectơ chỉ phương vuông góc với nhau.

Suy ra (−3).5 + 4.3 + m.2 = 0 hay m = $\frac{3}{2}$

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Phương trình đường thẳng

1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ và vectơ $\vec{u}$ khác $\vec{0}$ . Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét: Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì k $\vec{u}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Do các vectơ $\vec{B C}, \vec{C B}$ khác $\vec{0}$ và có giá là đường thẳng BC nên hai vectơ này là đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Do các vectơ $\vec{A D}, \vec{D A}$ khác $\vec{0}$ và có giá là đường thẳng AD song song với đường thẳng BC nên hai vectơ này đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Vậy đường thẳng BC nhận các vectơ $\vec{B C}, \vec{C B}, \vec{A D}, \vec{D A}$ làm vectơ chỉ phương.

1.2. Phương trình tham số của đường thẳng

● Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu ∆ là đường thẳng đi qua M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ thì ∆ có phương trình dạng

$\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ (t là tham số).

● Ngược lại, mỗi hệ phương trình $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ , trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0 và t là tham số, xác định một đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (a; b; c)$ .

→ Hệ phương trình $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ , trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ .

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 5) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 2; 4; 7)$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 5) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 2; 4; 7)$ có phương trình là: $\{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 1 + 4 t \\ z = 5 + 7 t \end{cases}$ (t là tham số).

1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

● Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu ∆ là đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ (với abc ≠ 0) thì ∆ có phương trình dạng:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ,

● Ngược lại, với abc ≠ 0, mỗi hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ xác định đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (a; b; c)$ .

→ Nếu abc ≠ 0 thì hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ .

Ví dụ 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(− 2; 3; 5) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; 3; - 4)$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(− 2; 3; 5) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; 3; - 4)$ là:

$\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 5}{- 4}$ .

1.4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(x₀; y₀; z₀) và B(x₁; y₁; z₁) có:

● Phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = x_{0} + (x_{1} - x_{0}) t \\ y = y_{0} + (y_{1} - y_{0}) t \\ z = z_{0} + (z_{1} - z_{0}) t \end{cases}$ (t là tham số).

● Phương trình chính tắc là: $\frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \frac{y - y_{0}}{y_{1} - y_{0}} = \frac{z - z_{0}}{z_{1} - z_{0}}$ (với x₀ ≠ x₁, y₀ ≠ y₁, z₀ ≠ z₁).

Ví dụ 4. Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(1; 2; 1) và N(2; − 4; 2).

Hướng dẫn giải

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng MN là:

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{- 4 - 2} = \frac{z - 1}{2 - 1} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 6} = \frac{z - 1}{1}$ .

+) Phương trình tham số của đường thẳng MN là: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 6 t \\ z = 1 + t \end{cases}$ (t là tham số).

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

● Trong không gian, hai vectơ được gọi là cùng phương nếu các giá của chúng cùng song song với một đường thẳng, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

● Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

$\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ và $\vec{u_{3}} = (a_{3}; b_{3}; c_{3})$ .

+) Hai vectơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ là cùng phương khi và chỉ khi $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = \vec{0}$ .

+) Ba vectơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}$ là đồng phẳng khi và chỉ khi $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \cdot \vec{u_{3}} = 0$ .

● Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng phân biệt ∆₁ , ∆₂ lần lượt đi qua các điểm M₁, M₂ và tương ứng có $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

Phương trình đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Chú ý: Trong một số trường hợp, để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có thể giải hệ phương trình được lập từ những phương trình xác định hai đường thẳng đó, sau đó xét cặp vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó cùng phương hay không (nếu cần thiết).

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 2 t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = - 2 + m \\ y = 2 + m \\ z = 3 - m \end{cases}$ (t, m là tham số). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(1; 3; 0) và có $\vec{u_{1}} = (1; 2; - 2)$ là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(−2; 2; 3) và có $\vec{u_{2}} = (1; 1; - 1)$ là vectơ chỉ phương.

Ta có $\vec{M_{1} M_{2}} = (- 3; - 1; 3)$ và $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (|\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}|) = (0; - 1; - 1)$ .

Do $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \cdot \vec{M_{1} M_{2}} = 0 \cdot (- 3) + (- 1) \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 3 = - 2 \neq 0$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ không đồng phẳng.

Vậy d₁ và d₂ chéo nhau.

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = 8 - 3 t \\ y = 8 - 4 t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 1 + m \\ y = 2 m \\ z = 3 + 3 m \end{cases}$ (t, m là tham số). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} 8 - 3 t = 1 + m \\ 8 - 4 t = 2 m \\ 3 - 2 t = 3 + 3 m \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m + 3 t = 7 \\ 2 m + 4 t = 8 \\ 3 m + 2 t = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 2 \\ t = 3 \end{cases}$ .

Suy ra hệ trên có nghiệm duy nhất nên hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau.

3. Góc

3.1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó, ta có:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Nhận xét: ∆₁ ⊥ ∆₂ ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 4 + t \\ z = 6 \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = - 1 - m \\ y = 5 \\ z = 2 + m \end{cases}$ (t, m là tham số). Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (1; 1; 0)$ .

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{2}} = (- 1; 0; 1)$ .

Ta có: $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Suy ra (d₁, d₂) = 60°.

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

d₁: $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = 6 + t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 m \\ y = 5 + m \\ z = 7 + 2 m \end{cases}$ (t, m là tham số).

Chứng minh rằng hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (1; - 4; 1)$ ; $\vec{u_{2}} = (2; 1; 2)$ .

Ta có $\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}} = 1 \cdot 2 + (- 4) \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0$ . Do đó d₁ ⊥ d₂.

3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Gọi (∆, (P)) là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). Khi đó,

$\sin (Δ, (P)) = |\cos (\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: $\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – 20 = 0. Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; - 2; 1)$ và mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (5; 11; 2)$ .

Ta có: $\sin (Δ, (P)) = \frac{|1 \cdot 5 + (- 2) \cdot 11 + 1 \cdot 2|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{5^{2} + 11^{2} + 2^{2}}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ .

Suy ra (∆, (P)) = 30°.

3.3. Góc giữa hai mặt phẳng

● Góc giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là ((P₁), (P₂)).

● Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P₁), (P₂) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1})$ , $\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ .

Khi đó, ta có:

$\cos ((P_{1}), (P_{2})) = \frac{|A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} \cdot \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$ .

Ví dụ 10. Cho hai mặt phẳng (P): 3x – y + z – 5 = 0 và (Q): 2x + 3y – 2z – 8 = 0. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Hướng dẫn giải

Do (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (3; - 1; 1)$ , $\vec{n_{2}} = (2; 3; - 2)$ .

nên $\cos ((P), (Q)) = \frac{|3 \cdot 2 + (- 1) \cdot 3 + 1 \cdot (- 2)|}{\sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 3^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{187}}$ .