Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Phương trình mặt phẳng

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 31-10-2024 Lớp 12

412

Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 1 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (Q) nhận $\vec{a} = (4; 0; 1)$ , $\vec{b} = (2; 1; 1)$ làm cặp vectơ chỉ phương. Tìm một vectơ pháp tuyến của (Q).

Lời giải:

Tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ là:

$[\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}|) = (- 1; - 2; 4)$

Do đó, (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (- 1; - 2; 4)$

Bài 2 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 1; - 2)$

b) (P) đi qua điểm N(−2; 3; 0) và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 1)$ , $\vec{v} = (3; 0; 4)$

c) (P) đi qua ba điểm A(1; 2; 2), B(5; 3; 2), C(2; 4; 2);

d) (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm M(3; 0; 0), N(0; 1; 0), P(0; 0; 2).

Lời giải:

a) Phương trình mặt phẳng (P) đó là: 3(x – 1) + 1(y – 2) + (−2)(z – 3) = 0 hay 3x + y – 2z + 1 = 0.

b) Ta có: $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = (|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix}|)$ = (4; −1; −3).

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (4; - 1; - 3)$

Phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x + 2) – 1(y – 3) – 3(z – 0) = 0 hay 4x – y – 3z + 11 = 0.

c) Ta có: $\vec{A B} = (4; 1; 0)$ , $\vec{A C} = (1; 2; 0)$

$\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] = (|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}|)$ = (0; 0; 7) = 7(0; 0; 1).

Do đó, $\vec{n} = (0; 0; 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là: z – 2 = 0.

d) (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm M(3; 0; 0), N(0; 1; 0), P(0; 0; 2) nên phương trình mặt phẳng (P) là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1$ hay 2x + 6y + 3z – 6 = 0.

Bài 3 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm các cặp mặt phẳng song song hoặc vuông góc trong các mặt phẳng sau: (P): x + y – z + 3 = 0, (Q): 2x + 2y – 2z + 99 = 0, (R): 3x + 3y + 6z + 7 = 0.

Lời giải:

Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec{n_{1}} = (1; 1; - 1), \vec{n_{2}} = (2; 2; - 2), \vec{n_{3}} = (3; 3; 6)$

Ta có: $\vec{n_{2}} = (2; 2; - 2) = 2 (1; 1; - 1) = 2 \vec{n_{1}}$ và 99 ≠ 2.3 nên (P) ∥ (Q).

$\vec{n_{1}} . \vec{n_{3}} = 1.3 + 1.3 + (- 1) .6 = 0$ nên (P) ⊥ (R).

Vậy (P) ∥ (Q), (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R).

Bài 4 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; 3) đến các mặt phẳng sau:

a) (P): 3x + 4z + 10 = 0;

b) (Q): 2x – 10 = 0;

c) (R): 2x + 2y + z – 3 = 0.

Lời giải:

a) d(A, (P)) = $\frac{|3.1 + 2.0 + 4.3 + 10|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 4^{2}}} = 5$

b) d(A, (Q)) = $\frac{|2.1 + 2.0 + 3.0 - 10|}{\sqrt{2^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = 4$

c) d(A, (R)) = $\frac{|2.1 + 2.2 + 3.1 - 3|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 2$

Bài 5 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 12 = 0, (Q): 4x + 2y + 4z – 6 = 0.

a) Chứng minh (P) ∥ (Q).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải:

a) Xét hai mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 12 = 0, (Q): 4x + 2y + 4z – 6 = 0, ta có:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \neq \frac{12}{- 6}$ nên (P) ∥ (Q).

b) Trên mặt phẳng (Q) lấy M(0; 1; 1) ∈ (Q).

Ta có: P((P), (Q)) = d(M, (P)) = $\frac{|2.0 + 1.1 + 2.1 + 12|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{15}{3}$ = 5

Bài 6 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có DA = 2, DC = 3, DD' = 2. Tính khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C').

Lời giải:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có DA = 2, DC = 3, DD' = 2. Tính khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C')

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm D.

Khi đó, tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.A'B'C'D' lần lượt là D(0; 0; 0),

A(2; 0; 0), C(0; 3; 0), B(2; 3; 0), D'(0; 0; 2), A'(2; 0; 2), B'(2; 3; 2), C'(0; 3; 2).

Mặt phẳng (BA'C') có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{B A^{'}} = (0; - 3; 2)$ , $\vec{B C^{'}} = (- 2; 0; 2)$

Ta có: $\vec{n} = [\vec{B A^{'}}, \vec{B C^{'}}] = (|\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 0 \\ 2 & - 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & - 3 \\ - 2 & 0 \end{matrix}|)$ = (−6; −4; −6) = −2(3; 2; 3).

Do đó, $\vec{n}$ = (3; 2; 3). Phương trình mặt phẳng (BA'C') là:

3(x – 2) + 2(y – 3) + 3z = 0 hay 3x + 2y + 3z – 12 = 0.

Khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C') là:

d(B', (BA'C')) = $\frac{|3.2 + 2.3 + 3.2 - 12|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \frac{3 \sqrt{22}}{11}$

Bài 7 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian Oxyz như Hình 9 nhờ một phần mềm đồ họa máy tính.

Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian Oxyz như Hình 9 nhờ một phần mềm đồ họa máy tính

a) Viết phương trình mặt phẳng mái nhà (DEMN).

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mái nhà (DEMN).

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{D E} = (6; 0; 0), \vec{D N} = (0; 2; 2)$

Ta có: $\vec{n} = [\vec{D E}, \vec{D N}] = (|\begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & 6 \\ 2 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}|)$ = (0; −12; 12) = −12(0; 1; −1).

Vậy $\vec{n} = (0; 1; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DEMN).

Phương trình của mặt phẳng (DEMN) là 1(y – 0) – 1(z – 4) = 0 hay y – z + 4 = 0.

b) Ta có B(6; 4; 0) nên d(B,(DEMN)) = $\frac{|4 + 4|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (α).

+) Nếu vectơ $\vec{n}$ khác $\vec{0}$ và có giá vuông góc với (α) thì $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của (α).

+) Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong (α) thì $\vec{a}, \vec{b}$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của (α).

Chú ý:

a) Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó hoặc biết một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

b) Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì $k \vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của (α).

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.

a) Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (A'B'C'D').

b) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'B'C'D').

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

a) Vì $\vec{A^{'} D^{'}}$ và $\vec{A^{'} B^{'}}$ không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D') nên $\vec{A^{'} D^{'}}$ và $\vec{A^{'} B^{'}}$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (A'B'C'D').

b) Vì AA' $⊥$ (A'B'C'D') nên $\vec{A A^{'}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'B'C'D').

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (α) nhận hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ làm cặp vectơ chỉ phương thì (α) nhận vectơ $\vec{n} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý:

a) Vectơ $\vec{n} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , kí hiệu là $[\vec{a}, \vec{b}]$ .

b) Biểu thức a₁b₂ – a₂b₁ thường được kí hiệu $|\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}|$ . Tương tự, $|\begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix}| = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}$ , $|\begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix}| = a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}$ . Như vậy, ta có thể viết:

$[\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}|)$ .

c) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] = \vec{0}$ .

d) Nếu $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ thì $\vec{n} ⊥ \vec{a}$ và $\vec{n} ⊥ \vec{b}$ .

Ví dụ 2. Cho mặt phẳng (P) nhận $\vec{a} = (1; 2; 0)$ và $\vec{b} = (- 1; 1; 1)$ làm cặp vectơ chỉ phương. Tìm một vectơ pháp tuyến của (P).

Hướng dẫn giải

Ta có tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ là

$[\vec{a}, \vec{b}] = (2.1 - 0.1; 0. (- 1) - 1.1; 1.1 - 2. (- 1)) = (2; - 1; 3)$ .

Do đó mặt phẳng (P) nhận $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}] = (2; - 1; 3)$ làm một vectơ pháp tuyến.

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

a) Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Cho mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó

N(x₀; y₀; z₀) $\in$ (α) $\Leftrightarrow$ Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0.

Ví dụ 3. Cho mặt phẳng (P) có phương trình 5x – y + z + 3 = 0.

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của (P).

b) Cho A(1; −1; −9). Chứng minh A $\in$ (P).

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (5; - 1; 1)$ .

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

5.1 – (−1) – 9 + 3 = 0.

Do đó A $\in$ (P).

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến là A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0 hay Ax + By + Cz + D = 0 với D = −Ax₀ – By₀ – Cz₀.

Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 1; 2)$ .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 1; 2)$ có phương trình là 1(x – 2) – (y – 0) + 2(z – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ x – y + 2z – 4 = 0.

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a}, \vec{b}$ , ta thực hiện như sau:

+) Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ .

+) Viết phương trình (α) đi qua M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 1; 3) và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a} = (1; 0; 2)$ , $\vec{b} = (- 1; - 1; 1)$ .

Hướng dẫn giải

Vì (P) có có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a} = (1; 0; 2)$ , $\vec{b} = (- 1; - 1; 1)$ nên (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}] = (0.1 - 2. (- 1); 2. (- 1) - 1.1; 1. (- 1) - 0. (- 1)) = (2; - 3; - 1)$ .

Phương trình mặt phẳng (P) là:

2(x – 2) – 3(y – 1) – (z – 3) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x – 3y – z + 2 = 0.

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta thực hiện như sau:

+) Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

+) Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

+) Viết phương trình (α) đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm 3 điểm M(1; 0; 2), N(3; 4; 1), P(−1; 1; 3).

Hướng dẫn giải

Vì (P) đi qua 3 điểm M, N, P nên mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{M N} = (2; 4; - 1), \vec{M P} = (- 2; 1; 1)$ .

Mặt phẳng (P) nhận

$\vec{n} = \frac{1}{5} [\vec{M N}, \vec{M P}] = \frac{1}{5} (4.1 - (- 1) .1; (- 1) . (- 2) - 1.2; 2.1 - 4. (- 2)) = (1; 0; 2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P) là: (x – 1) + 2(z – 2) = 0 $\Leftrightarrow$ x + 2z – 5 = 0.

Nhận xét: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c đều khác 0. Khi đó phương trình (ABC): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . Phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α₁): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (α₂): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1}), \vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ . Khi đó $(α_{1}) / / (α_{2}) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases} (k \in ℝ)$ .

Chú ý:

+) $(α_{1}) \equiv (α_{2}) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} = k D_{2} \end{cases} (k \in ℝ)$ .

+) (α₁) cắt (α₂) $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ không cùng phương.

Ví dụ 7. Mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 song song với mặt phẳng nào dưới đây?

a) (Q): 2x + 4y – 2z + 3 = 0.

b) (R): 4x + 8y – 4z + 20 = 0.

c) (H): x – 2y + z = 0.

Hướng dẫn giải

Các mặt phẳng (P), (Q), (R), (H) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (1; 2; - 1), \vec{n_{2}} = (2; 4; - 2), \vec{n_{3}} = (4; 8; - 4), \vec{n_{4}} = (1; - 2; 1)$ .

a) Ta có $\vec{n_{2}} = 2 \vec{n_{1}}$ và 3 ≠ 2.5. Do đó (P) // (Q).

b) Ta có $\vec{n_{3}} = 4 \vec{n_{1}}$ và 20 = 4.5. Do đó (P) ≡ (Q).

c) Ta có $\frac{1}{1} \neq \frac{2}{- 2}$ suy ra $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{4}}$ không cùng phương. Vậy (P) cắt (H).

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Khi đó $(α_{1}) ⊥ (α_{2}) \Leftrightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 0 \Leftrightarrow A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0$ .

Ví dụ 8. Cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): −2y – 2z + 3 = 0. Chứng minh (P) $⊥$ (Q).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (1; 1; - 1), \vec{n_{2}} = (0; - 2; - 2)$ .

Có $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 1.0 + 1. (- 2) + (- 1) . (- 2) = 0$ .

Vậy (P) $⊥$ (Q).

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M₀(x₀; y₀; z₀). Khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức $d (M_{0}, (α)) = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .