Với giải sách bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 4 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 4

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Biết rằng f'(x) = 8x³ – 4x + 2 và f(1) = 4. Hàm số f(x) là:

A. 2x⁴ – 2x² + x + 4.

B. 2x⁴ – 2x² + 2x + 2.

C. 8x⁴ – 4x² + x.

D. 8x⁴ – 4x² + x + 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \left(8x^3-4x+2\right)dx$

                                       = 2x⁴ – 2x² + 2x + C.

Mà f(1) = 4 suy ra 2.1⁴ – 2.1² + 2. 1 + C = 4 hay C = 2

Vậy f(x) = 2x⁴ – 2x² + 2x + 2.

Bài 2 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = f(x) có đồ thị đi qua điểm (0; 2) và f'(x) = cosx – sinx. Giá trị của f(π) là:

A. −1.

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài, hàm số y = f(x) đi qua điểm (0; 2) hay f(0) = 2.

Ta có: $f\left(\pi \right)-f\left(0\right)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

                         $=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$

                        $={\left.\left(\sin x+\cos x\right)\right|}_0^{\pi }=-2$

Suy ra f(π) = −2 + f(0) = −2 + 2 = 0.

Bài 3 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây đúng?

A. $\int 3^{2x}dx=9^x.\ln 9+C.$

B. $\int 3^{2x}dx=\frac{9^x}{2\ln 3}+C.$

C. $\int 3^{2x}dx={\left(\frac{3^x}{\ln 3}\right)}^2+C.$

D. $\int 3^{2x}dx=\frac{3^{2x}}{\ln 3}+C.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int 3^{2x}dx=\int {\left(3^2\right)}^{x}dx=\int 9^{x}dx$

$=\frac{9^x}{\ln 9}+C=\frac{9^x}{2\ln 3}+C$

Bài 4 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=4\sqrt[3]{x}$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{8}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 45.

B. 80.

C. 15.

D. $18\sqrt[3]{3}-51$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{8}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$

         $=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{3}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx$

Suy ra $\underset{1}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{8}{\int }}4\sqrt[3]{x}dx$

          $=4\underset{1}{\overset{8}{\int }}{x}^{\frac{1}{3}}dx={\left.3x\sqrt[3]{x}\right|}_1^8$

           = 48 – 3 = 45.

Bài 5 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 3x – 1. Biết rằng a là số thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=a{\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx\right]}^2$. Giá trị của a là:

A. 2

B. $\frac{1}{4}.$

C. 4

D. $\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x-1\right)}^{2}dx$

          $=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(9x^2-6x+1\right)dx$

         $={\left.\left(3x^3-3x^2+x\right)\right|}_0^1=1$

${\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx\right]}^2={\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x-1\right)dx\right]}^2$

$={\left[{\left.\left(\frac{3}{2}{x}^2-x\right)\right|}_0^1\right]}^2=\frac{1}{4}$

Nhận thấy 1 = 4. $\frac{1}{4}$ hay $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=4{\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx\right]}^2$

Vậy a = 4.

Bài 6 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 1) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm (x; f(x)) là 1 – 4x. giá trị của f(3) là:

A. −12.

B. −13.

C. −15.

D. −30.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Theo đề ta có: f(1) = 1 và f'(x) = 1 – 4x.

Ta có: $f\left(3\right)-f\left(1\right)=\underset{1}{\overset{3}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(1-4x\right)dx$

$={\left.\left(x-2x^2\right)\right|}_1^3=-14$

Suy ra f(3) = −14 + f(1) = −14 + 1 = −13.

Bài 7 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] và thỏa mãn $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[3x^2-2f^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx=4;f\left(1\right)=-2$. Giá trị f(3) là:

A. 9.

B. 11.

C. −13.

D. 19.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[3x^2-2f^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}3x^{2}dx-2\underset{1}{\overset{3}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$={\left.x^3\right|}_1^3-{\left.2f\left(x\right)\right|}_1^3$

= 26 – 2[f(3) − f(1)] = 4.

Mà f(1) = −2 nên 26 – 2[f(3) + 2] = 4 suy ra f(3) = 9.

Bài 8 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = e^x – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = ln4 là:

A. 1.

B. 3.

C. 2ln2 – 1.

D. 3 – 4ln2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Bài 9 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho K là một khoảng trên ℝ; F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K; G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

a) Nếu F(x) = G(x) thì f(x) = g(x).

b) Nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C,C\in ℝ.$

d) $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C,C\in ℝ.$

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Giả sử hàm F(x) = G(x) = ax³ + bx² + cx + d

Suy ra F'(x) = f(x) = 3ax² + 2bx + c ; G'(x) = g(x) = 3ax² + 2bx + c.

Do đó, nếu F(x) = g(x) thì f(x) = g(x).

b) Giả sử f(x) = g(x) = 3ax² + 2bx + c.

Lúc này $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1,C_1\in ℝ$

Tồn tại trường hợp C₁ ≠ C₂ nên không thể khẳng định nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C,C\in ℝ.$ $\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)+C_2,C_2\in ℝ.$

d) F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K do đó F'(x) = f(x) và F''(x) = f'(x).

Do đó, $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C,C\in ℝ.$ Do đó d) sai.

Bài 10 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và trục hoành.

a) f(x) = 4 – 2x².

b) $S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

c) $S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

d) $S=\frac{16}{3}.$

Lời giải:

a) S

b) Đ

c) Đ

d) S

a) Quan sát đồ thị, hàm số y = f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) đi qua các điểm (0; 4), (2; 0), (−2; 0).

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}a{.0}^2+b.0+c=4\\ a{.2}^2+b.2+c=0\\ a.{\left(-2\right)}^2+b.\left(-2\right)+c=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}c=4\\ 4a+2b=-4\\ 4a-2b=-4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\\ c=4\end{array}\right.$

Do đó y = f(x) = 4 – x².

Ta có diện tích hình phẳng đó là:

$S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|4-x^2\right|dx=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(4-x^2\right)dx$

$={\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-2}^2=\frac{32}{3}$

B. Tự luận

Bài 1 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x; f(x)) có hệ số góc là 3x² – 6x + 2. Tìm hàm số y = f(x), biết đồ thị của nó đi qua điểm (−1; 1).

Lời giải:

Theo đề bài, ta có: f(−1) = 1 và f'(x) = 3x² – 6x + 2.

Ta có $f\left(x\right)=\int \left(3x^2-6x+2\right)dx=$ x³ – 3x² + 2x + C.

Mà f(−1) = 1 nên (−1)³ – 3.(−1)² + 2.(−1) + C = 1 hay C = 7.

Vậy f(x) = x³ – 3x² + 2x + 7.

Bài 2 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int {\left(3x-\frac{1}{x^2}\right)}^{2}dx$

b) $\int \left(7x\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)dx$ (x > 0).

c) $\int {\left(3^{2x}-1\right)}^{2}dx$

d) $\int \left(2-3{\cos }^2\frac{x}{2}\right)dx$

Lời giải:

a) Ta có: $\int {\left(3x-\frac{1}{x^2}\right)}^{2}dx=\int \left(9x^2-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^4}\right)dx$

$=\int 9x^{2}dx-\int \frac{6}{x}dx+\int \frac{1}{x^4}dx$

$=3x^3-6\ln \left|x\right|-\frac{1}{3x^3}+C$

b) Ta có: $\int \left(7x\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)dx=\int \left(7x^{\frac{4}{3}}-x^{-\frac{3}{2}}\right)dx$

$=7.\frac{3}{7}{x}^{\frac{7}{3}}-\left(-2\right)x^{-\frac{1}{2}}+C$

$=3x^2.\sqrt[3]{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}+C$

c) Ta có: 

$\int {\left(3^{2x}-1\right)}^{2}dx=\int {\left(9^x-1\right)}^{2}dx=\int \left(9^{2x}-{2.9}^x+1\right)dx$

$=\int \left({81}^x-{2.9}^x+1\right)dx$

$=\frac{{81}^x}{\ln 81}-\frac{{2.9}^x}{\ln 9}+x+C$

$=\frac{3^{4x}}{4\ln 3}+\frac{3^{2x}}{\ln 3}+x+C$

d) Ta có:

$\int \left(2-3{\cos }^2\frac{x}{2}\right)dx=\int \left(2-3.\frac{1+\cos x}{2}\right)dx$

$=\int \left(2-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\cos x\right)dx$

$=\int \left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos x\right)dx$

$=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\sin x+C$

Bài 3 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tính:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2}dx$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+1}{x}dx$

c) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{8^x+1}{2^x+1}dx$

d) $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+{\sin }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}dx$

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2}dx$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}\right)\right|}_1^2$

$=\ln 2+\frac{16}{3}.$

b) Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+1}{x}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx$

$={\left.\left(e^x+\ln \left|x\right|\right)\right|}_1^2$

= e² − e + ln2.

c) Ta có:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{8^x+1}{2^x+1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\left(2^x+1\right)\left(4^x-2^x+1\right)}{\left(2^x+1\right)}dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4^x-2^x+1\right)dx$

$={\left.\left(\frac{4^x}{\ln 4}-\frac{2^x}{\ln 2}+x\right)\right|}_0^1$

$=\frac{4}{\ln 4}-\frac{2}{\ln 2}+1-\frac{1}{\ln 4}+\frac{1}{\ln 2}$

$=1+\frac{1}{2\ln 2}$

d) Ta có:

$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+{\sin }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}dx=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}dx$

$=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}+1\right)dx$

$={\left.\left(-\cot x+x\right)\right|}_{{}_{\frac{\pi }{4}}}^{\frac{\pi }{2}}=1+\frac{\pi }{4}$

Bài 4 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 5]. Tính $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$, biết rằng $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=4;\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=6;\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=3.$

Lời giải:

Ta có: $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 6 – 3 = 3.

$\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 4 + 3 = 7.

Vậy $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=7.$

Bài 5 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng đạo hàm f'(x) liên tục trên ℝ. Tính $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

Lời giải:

Quan sát đồ thị, ta thấy f(1) = 2 và f(−1) = −1.

Ta có: $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.f\left(x\right)\right|}_{-1}^1$

= f(1) – f(−1) = 2 – (−1) = 3.

Bài 6 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4-3x^2,x<1\\ \mathrm{1,}x\ge 1.\end{array}\right.$. Tính f(2) – f(0).

Lời giải:

Ta có: f(2) – f(0) = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4-3x^2\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}1dx$

$={\left.\left(4x-x^3\right)\right|}_0^1+{\left.x\right|}_1^2=4$

Vậy f(2) – f(0) = 4.

Bài 7 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ và thỏa mãn $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[3\cos x+2f^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx=-5;f\left(0\right)=1$. Tính giá trị $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[3\cos x+2f^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx$

$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}3\cos xdx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}2f^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$={\left.3\sin x\right|}_0^{{}^{\frac{\pi }{2}}}+{\left.2f\left(x\right)\right|}_0^{{}^{\frac{\pi }{2}}}$

$=3+2f\left(\frac{\pi }{2}\right)-2f\left(0\right)=-5$

Mà f(0) = 1 suy ra $3+2f\left(\frac{\pi }{2}\right)-2=-5$ hay $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-3$

Bài 8 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị $y=\sqrt{x}$, trục hoành và đường thẳng x = 4. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của a.

Lời giải:

Ta có: $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{x}dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{x}^{\frac{1}{2}}dx={\left.\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\right|}_0^4=\frac{16}{3}.$

$S_1=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{x}dx={\left.\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\right|}_0^a=\frac{2}{3}\sqrt{a^3}$

Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên 

$S_1=\frac{S}{2}\iff \frac{2}{3}\sqrt{a^3}=\frac{8}{3}$

$\iff \sqrt{a^3}=4$

$\iff a^3=16\iff a=2\sqrt[3]{2}$

Bài 9 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 1 + x², trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1 quanh trục Ox.

Lời giải:

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

$V=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left(1+x^2\right)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(1+2x^2+x^4\right)dx$

$={\left.\pi \left(x+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^5}{5}\right)\right|}_{-1}^1=\frac{56\pi }{15}.$

Bài 10 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Một cột bê tông hình trụ có chiều cao 9 m. Nếu cắt cột bê tông bằng mặt phẳng nằm ngang cách chân cột x (m) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $1-\frac{\sqrt{x}}{4}$(m) với 0 ≤ x ≤ 9. Tính thể tích của cột bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).

Lời giải:

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{9}{\int }}{\left(1-\frac{\sqrt{x}}{4}\right)}^{2}dx$

$=\pi \underset{0}{\overset{9}{\int }}\left(1-\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{16}x\right)dx$

$={\left.\pi \left(x-\frac{1}{3}x\sqrt{x}+\frac{1}{32}{x}^2\right)\right|}_0^9=\frac{81\pi }{32}$

Vậy $V=\frac{81\pi }{32}\approx \mathrm{7,95}$ (m)

Bài 11 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc với tốc độ v₀ = 5 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi x = 3 m/s²

a) Sau 5 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tốc độ của xe là bao nhiêu?

b) Tính quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc.

Lời giải:

a) Ta có:

Mà v(0) = v₀ = 5 nên 3.0 + C = 5 hay C = 5.

Suy ra v(t) = 3t + 5 (m/s), do đó v(5) = 3.5 + 5 = 20 (m/s).

b) Quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc là:

$s=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(3t+5\right)dt={\left.\left(\frac{3}{2}{t}^2+5t\right)\right|}_0^5$ = 62,5 (m).

Bài 12 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thỏa mãn công thức N'(t) = 0,2N(t), 0 ≤ t ≤ 5, trong đó t là thời gian tính theo ngày, N(t) là số cá thể muỗi tại thời điểm t. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2 000 cá thể.

a) Đặt y(t) = lnN(t), 0 ≤ t ≤ 5.

Chứng tỏ rằng y'(t) = 0,2. Từ đó, tìm N(t) với 0 ≤ t ≤ 5.

b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải:

a) Ta có: $y^{\text{'}}\left(t\right)={\left[\ln N\left(t\right)\right]}^{\text{'}}$

$=\frac{N^{\text{'}}\left(t\right)}{N\left(t\right)}=\frac{\mathrm{0,2}N\left(t\right)}{N\left(t\right)}=\mathrm{0,2.}$

Suy ra $y\left(t\right)=\int y^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int \mathrm{0,2}dt=\mathrm{0,2}t+C.$

Do đó, lnN(t) = 0,2t + C, suy ra N(t) = e^{0,2t + C} = C₀.e^0,2 (với C₀ = e^C).

Ta có: N(0) = 2 000, suy ra C₀ = 2 000.

Do đó, N(t) = 2 000.e^0,2t, 0 ≤ t ≤ 5.

b) Ta có: N(3) = 2 000. e^0,2.3 ≈ 3 600 (cá thể).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5