Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 1 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=7+5t\\ y=3+11t\\ z=9-6t\end{array}\right.$. Tìm một điểm trên d và một vectơ chỉ phương của d.

Lời giải:

Do d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=7+5t\\ y=3+11t\\ z=9-6t\end{array}\right.$ nên d đi qua điểm M(7; 3; 9) và có một vectơ chỉ phương là = (5; 11; −6).

Bài 2 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(1; −5; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(2;0;7\right)$

b) d đi qua hai điểm M(3; −1; −1); N(5; 1; 2).

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-5\\ z=7t\end{array}\right.$

b) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(2;2;3\right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=1+2t\\ z=2+3t\end{array}\right.$

Bài 3 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(9; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(5;-11;4\right)$

b) d đi qua hai điểm A(6; 0; −1), B(8; 3; 2);

c) d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-1+7t\\ z=3-6t\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x-9}{5}=\frac{x}{-11}=\frac{z}{4}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;3;3\right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\frac{x-6}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{3}$

c) Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-1+7t\\ z=3-6t\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{x}{2}\\ t=\frac{y+1}{7}\\ t=\frac{z-3}{-6}\end{array}\right.$

nên phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{7}=\frac{z-3}{-6}$

Bài 4 trang 54 SBT Toán 12 Tập 2: Xét phương trình tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau:

a) d: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+3t\\ z=1-t\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t^{\text{'}}\\ y=7+6t^{\text{'}}\\ z=-1-2t^{\text{'}}\end{array}\right.$

b) d: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}$ và d': $\frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z}{2}$

c) d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+t\\ z=2-t\end{array}\right.$ và d': $\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{1}$

d) d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1+t\\ z=7\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 1) và nhận $\overrightarrow{a}$ = (1; 3; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(2; 7; −1) và nhận $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ = (2; 6; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(2;6;-2\right)\\ \overrightarrow{a^{\text{'}}}=2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}\end{array}\right.$, suy ra $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}},\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ cùng phương.

Do đó d ≡ d'.

b) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0; 0) và nhận $\overrightarrow{a}$ = (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(0; 0; 0) và nhận $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ = (4; 6; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(-2;0;0\right)\\ \overrightarrow{a^{\text{'}}}=2\overrightarrow{a}\\ \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 0\end{array}\right|\right)=\left(0;2;-6\right)\ne \overrightarrow{0.}\end{array}\right.$

Do đó d ∥ d'.

c) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 2) và nhận $\overrightarrow{a}$ = (1; 1; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng  d' đi qua điểm M'(2; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ = (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(1;0;5\right)\\ \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right]=\left(-1;0;2\right)\ne \overrightarrow{0}\\ \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right]\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=0.\end{array}\right.$

Do đó hai đường thẳng d và d' chéo nhau.

Bài 5 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) α là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(5;2;7\right)$

b) α là góc giữa hai đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-\sqrt{3}t\\ z=5\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=1-\sqrt{3}{t}^{\text{'}}\\ y=7+t^{\text{'}}\\ z=9\end{array}\right.$

c) α là góc giữa hai mặt phẳng (P): 4x + 2y – z + 9 = 0 và (Q): x + y + 6z – 11 =0;

d) α là góc giữa đường thẳng d: $\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): x + y − z + 99 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: cosα = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{1.5+1.2-1.7}{\sqrt{1^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{5^2+2^2+7^2}}=0$ ⇒ α = 90°.

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(1;-\sqrt{3};0\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(-\sqrt{3};1;0\right)$

Khi đó, cosα = $\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|1.\left(-\sqrt{3}\right)+\left(-\sqrt{3}\right).2+0.0\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+0^2}.\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+1^2+0^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ α = 30°.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là $\overrightarrow{n}=\left(4;2;-1\right),\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(1;1;6\right)$

Khi đó cosα = $\frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\text{'}}}}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|4.1+2.1-1.6\right|}{\sqrt{4^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+1^2+6^2}}=0$ ⇒ α = 90°.

d) Ta có vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(2;-1;1\right),\overrightarrow{n}=\left(1;1;-1\right)$

Khi đó sinα = $\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{\left|2.1-1.1+1.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}.\sqrt{1^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}}=0$ ⇒ α = 0°.

Bài 6 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính góc α giữa hai đường thẳng SD và BC;

b) Tính góc β giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.

Ta có: S(0; 0; 6), A(2; 0; 0), B(−2; 0; 0), C(−2; 4; 0), D(2; 4; 0).

a) Ta có: $\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right),\overrightarrow{BC}=\left(0;4;0\right)$

Suy ra cosα = $\frac{\left|\overrightarrow{SD}.\overrightarrow{BC}\right|}{\left|\overrightarrow{SD}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{\left|2.0+4.4-6.0\right|}{\sqrt{2^2+4^2+{\left(-6\right)}^2}.\sqrt{0^2+4^2+0^2}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$ ⇒ α ≈ 57,7°.

b) Mặt phẳng (SAD) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right)$, $\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-6\right)$

Ta có: $\left[\overrightarrow{SD},\overrightarrow{SA}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}4& -6\\ 0& -6\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-6& 2\\ -6& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 0\end{array}\right|\right)$ = (−24; 0; −8) = −8(3; 0; 1).

Vậy $\overrightarrow{n}=\left(3;0;1\right)$ là vectơ pháp tuyến của (SAD).

Mặt phẳng (SCD) có cặp vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{DC}=\left(-4;0;0\right)$, $\overrightarrow{SD}=\left(2;4;-6\right)$

Ta có: $\left[\overrightarrow{SD},\overrightarrow{DC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}4& -6\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-6& 2\\ 0& -4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ -4& 0\end{array}\right|\right)$ = (0; 24; 16) = 8(0; 3; 2).

Vậy $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(0;3;2\right)$

Suy ra cosβ = $\frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\text{'}}}}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|3.0+0.3+1.2\right|}{\sqrt{3^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+3^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{130}}$  ⇒ β ≈ 79,9°.

Bài 7 trang 55 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng – ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; −4; 3), N(−5; −2; 2).

a) Tính độ dài các đoạn dây cáp MA và NA.

b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp MA, NA với mặt phẳng sườn đồi.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{MA}=\left(-3;4;3\right),\overrightarrow{NA}=\left(5;2;4\right)$ suy ra

MA = $\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2+3^2}$ = ≈ 5,8 (m),

NA = $\sqrt{5^2+2^2+4^2}=\sqrt{45}$ ≈ 6,7 (m).

b) Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{OM}=\left(3;-4;3\right),\overrightarrow{ON}=\left(-5-2;2\right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-4& 3\\ -2& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ 2& -5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& -4\\ -5& -2\end{array}\right|\right)$

                                   = (−2; −21; −26).

Gọi α, β lần lượt là góc tạo bởi MA, NA với mặt phẳng (AMN).

Ta có: sinα = $\frac{\left|\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{MA}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|-3.\left(-2\right)+4.\left(-21\right)+3.\left(-26\right)\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2+3^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-21\right)}^2+{\left(-26\right)}^2}}$

                  = $\frac{156}{\sqrt{38114}}$

⇒ α ≈ 53°;

Sinβ = $\frac{\left|\overrightarrow{NA}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{NA}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|5.\left(-2\right)+2.\left(-21\right)+4.\left(-26\right)\right|}{\sqrt{5^2+2^2+4^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-21\right)}^2+{\left(-26\right)}^2}}$

$=\frac{156}{\sqrt{50445}}$

⇒ β ≈ 44°.

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Phương trình đường thẳng trong không gian

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{a}$ khác $\overrightarrow{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phương của d.

Chú ý: Nếu $\overrightarrow{a}$ là vectơ chỉ phương của d thì $k\overrightarrow{a}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của d.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có A(1; 2; 3), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng CD.

Hướng dẫn giải

Có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;2;-3\right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Do đó đường thẳng CD nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(-1;2;-3\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

•Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng:

                     $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ với t Î ℝ (t được gọi là tham số).

Ví dụ 2. Cho đường thẳng d có phương trình tham số  $\left\{\begin{array}{l}x=-1+5t\\ y=3t\\ z=2+2t\end{array}\right.,t\in ℝ$

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d.

b) Tìm các điểm A, B, C trên d ứng với t lần lượt là 0; 1; 2.

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình tham số của d ta có $\overrightarrow{a}=\left(5;3;2\right)$ là một vectơ chỉ phương của d.

b) Với t = 0 thay vào phương trình đường thẳng d ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+5.0\\ y=3.0\\ z=2+2.0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\\ z=2\end{array}\right.$.

Vậy A(−1; 0; 2).

Tương tự B(4; 3; 4), C(9; 6; 6).

Chú ý:

a) Trong phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$, mỗi giá trị của tham số t xác định duy nhất một điểm M trên d và ngược lại.

b) Từ nay để cho gọn, trong phương trình tham số của đường thẳng, ta không viết t $\in$ ℝ.

Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(1;0;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(1;0;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1\\ z=1+2t\end{array}\right..$

• Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right).$

Nếu a₁, a₂, a₃ đều khác 0 thì hệ phương trình $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$ gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(−1; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(1;3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(−1; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(1;3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{2}.$

• Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)$ và có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=x_A+\left(x_B-x_A\right)t\\ y=y_A+\left(y_B-y_A\right)t\\ z=z_A+\left(z_B-z_A\right)t\end{array}\right.$.

Nếu x_A ≠ x_B, y_A ≠ y_B, z_A ≠ z_B thì d có phương trình chính tắc:

                                   $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}.$

Ví dụ 5. Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng MN, biết M(1; 2; 3) và N(2; −1; 2).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng MN có $\overrightarrow{MN}=\left(1;-3;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-3t\\ z=3-t\end{array}\right.$ và phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-1}$.

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

• Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Gọi $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left({a_1}^{\text{'}};{a_2}^{\text{'}};{a_3}^{\text{'}}\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d'. Gọi M(x₀; y₀; z₀) là một điểm trên d.

Ta có: d // d' $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a^{\text{'}}},k\in ℝ\\ M\notin d^{\text{'}}\end{array}\right.$

 d ≡ d' $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a^{\text{'}}},k\in ℝ\\ M\in d^{\text{'}}\end{array}\right.$

Ví dụ 6. Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của cặp đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$ và d': $\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; −2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-2\right)$.

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(-2;-1;2\right)=-\overrightarrow{a}$.

Thay tọa độ điểm A và phương trình đường thẳng d' ta được: $\frac{1+2}{-2}=\frac{0-1}{-1}=\frac{-2}{2}$ (vô lí).

Do đó A Ï d'. Vậy d // d'.

Chú ý: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$, đường thẳng d' đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}.$

a) Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}},\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ cùng phương thì d ≡ d'.

b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ cùng phương và hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ không cùng phương thì d // d'.

Ví dụ 7. Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của cặp đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+12t\\ y=2+6t\\ z=3+3t\end{array}\right.$và d': $\left\{\begin{array}{l}x=7+8t\\ y=6+4t\\ z=5+2t\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(12;6;3\right)$

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(7; 6; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(8;4;2\right)$

Ta có $\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(8;4;2\right)$.

Có $\overrightarrow{a}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}.$ Suy ra $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}},\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ cùng phương.

Do đó d ≡ d'.

• Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là:

d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x={x_0}^{\text{'}}+{a_1}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\\ y={y_0}^{\text{'}}+{a_2}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\\ z={z_0}^{\text{'}}+{a_3}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\end{array}\right.$.

Gọi $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left({a_1}^{\text{'}};{a_2}^{\text{'}};{a_3}^{\text{'}}\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d'.

Xét hệ phương trình ẩn t và t': $\left\{\begin{array}{l}{x}_0+a_{1}t={x_0}^{\text{'}}+{a_1}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\\ y_0+a_{2}t={y_0}^{\text{'}}+{a_2}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\\ z_0+a_{3}t={z_0}^{\text{'}}+{a_3}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\end{array}\right.$

+) d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.

+) d và d' chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

Chú ý: Để xét vị trí tương đối của d và d', trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của d và d'.

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ cùng phương thì d và d' hoặc song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ không cùng phương thì d và d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 8. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3}$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-t\\ z=-2+3t\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t^{\text{'}}\\ y=-2+t^{\text{'}}\\ z=4+3t^{\text{'}}\end{array}\right..$

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-1+t=1-2t^{\text{'}}\\ -t=-2+t^{\text{'}}\\ -2+3t=4+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t+2t^{\text{'}}=2\\ -t-t^{\text{'}}=-2\\ 3t-3t^{\text{'}}=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=2\\ t^{\text{'}}=0\end{array}\right.$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất. Do đó d và d' cắt nhau.

Chú ý: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a},$ đường thẳng d' đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$.

Trong trường hợp $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ không cùng phương, nghĩa là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right]\ne \overrightarrow{0}$,

ta có:

- Nếu $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right].\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$ thì d và d' cắt nhau.

- Nếu $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right].\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}\ne \overrightarrow{0}$ thì d và d' chéo nhau.

• Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left({a_1}^{\text{'}};{a_2}^{\text{'}};{a_3}^{\text{'}}\right)$. Ta có $d\perp d^{\text{'}}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}=0\iff a_1{a_1}^{\text{'}}+a_2{a_2}^{\text{'}}+a_3{a_3}^{\text{'}}=0$.

Ví dụ 9. Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-t\\ z=2-t\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\text{'}}\\ y=-1+4t^{\text{'}}\\ z=2-2t^{\text{'}}\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(1;-1;-1\right)$, đường thẳng d' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(2;4;-2\right)$.

Có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}=1.2+\left(-1\right).4+\left(-1\right).\left(-2\right)=0$.

Do đó d ^ d'.

3. Góc

• Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left({a_1}^{\text{'}};{a_2}^{\text{'}};{a_3}^{\text{'}}\right)$ được tính bởi công thức

$\cos \left(d,d^{\text{'}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|a_1.{a_1}^{\text{'}}+a_2.{a_2}^{\text{'}}+a_3{a_3}^{\text{'}}\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{{a^{\text{'}}}_1^2+{a^{\text{'}}}_2^2+{a^{\text{'}}}_3^2}}$.

Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+t\\ z=t\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\text{'}}\\ y=1-t^{\text{'}}\\ z=t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(-1;1;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;-1;1\right)$.

$\cos \left(d,d^{\text{'}}\right)=\frac{\left|\left(-1\right).2+1.\left(-1\right)+1.1\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+1^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Suy ra (d, d') ≈ 61,9°.

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(n_1;n_2;n_3\right)$ được tính bởi công thức:

$\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|a_1.n_1+a_2.n_2+a_3.n_3\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}$.

Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+t\\ z=t\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(-1;1;1\right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3;1\right)$.

Ta có $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\left(-1\right).2+1.3+1.1\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+1^2}.\sqrt{2^2+3^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{42}}$.

Suy ra (d, (P)) ≈ 18°.

Chú ý: Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

•Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n}=\left(n_1;n_2;n_3\right)$ và $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left({n^{\text{'}}}_1;{n^{\text{'}}}_2;{n^{\text{'}}}_3\right)$ được tính bởi công thức:

$\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\text{'}}\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|n_1.{n^{\text{'}}}_1+n_2.{n^{\text{'}}}_2+n_3.{n^{\text{'}}}_3\right|}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}.\sqrt{{n^{\text{'}}}_1^2+{n^{\text{'}}}_2^2+{n^{\text{'}}}_3^2}}$.

Ví dụ 12. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và (P'): 3x – y + z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$, mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(3;-1;1\right)$.

Ta có $\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\text{'}}\right)\right)=\frac{\left|1.3+1.\left(-1\right)+1.1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}.\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{33}}$.

Suy ra ((P), (P')) ≈ 58,5°.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng (P) và (P') có hai vectơ pháp tuyến vuông góc thì (P) $\perp$(P').

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác suất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes