Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài 1 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int {\left(x-2\right)}^{2}dx$

b) $\int \left(x-1\right)\left(3x+1\right)dx$

c) $\int \sqrt[3]{x^2}dx$

d) $\int \frac{{\left(1-x\right)}^2}{\sqrt{x}}dx$

Lời giải:

a) $\int {\left(x-2\right)}^{2}dx=\int \left(x^2-4x+4\right)dx$

$=\int x^{2}dx-\int 4xdx+\int 4dx$

$=\frac{x^3}{3}-2x^2+4x+C$

b) $\int \left(x-1\right)\left(3x+1\right)dx=\int \left(3x^2-2x-1\right)dx$

$=\int 3x^{2}dx-\int 2xdx-\int 1dx$

 = x³ – x² + x + C.

c) $\int \sqrt[3]{x^2}dx=\int x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{3}{5}{x}^{\frac{5}{3}}+C=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C.$

d) $\int \frac{{\left(1-x\right)}^2}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{x^2-2x+1}{\sqrt{x}}dx$

$=\int \left(x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

$=\int \left(x^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right)dx$

$=2x^{\frac{1}{2}}-2.\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C$

$=2\sqrt{x}-\frac{4}{3}x\sqrt{x}+\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}+C.$

Bài 2 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(5^x+1\right)\left(5^x-1\right)dx$

b) $\int e^{-\mathrm{0,5}x}dx$

c) $\int 2^{x-1}{.5}^{2x+1}dx$

Lời giải:

a) $\int \left(5^x+1\right)\left(5^x-1\right)dx=\int \left(5^{2x}-1\right)dx$

$=\int 5^{2x}dx-\int 1dx=\int {25}^{x}dx-\int 1dx$

$=\frac{{25}^x}{\ln 25}-x+C=\frac{{25}^x}{2\ln 5}-x+C.$

b) $\int e^{-\mathrm{0,5}x}dx=\int {\left(e^{-\mathrm{0,5}}\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^{-\mathrm{0,5}}\right)}^x}{\ln e^{-\mathrm{0,5}}}+C$

$=\frac{e^{-\mathrm{0,5}x}}{-\mathrm{0,5}}+C=-2e^{-\mathrm{0,5}x}+C$

c) $\int 2^{x-1}{.5}^{2x+1}dx=\int \frac{2^x}{2}{.5}^{2x}.5dx=\int \frac{5}{2}{.2}^x{.25}^{x}dx$

$=\frac{5}{2}\int {50}^{x}dx=\frac{5}{2}.\frac{{50}^x}{\ln 50}+C.$

Bài 3 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \frac{{\cos }^{2}x}{1-\mathrm{s}\text{inx}}dx$

b) $\int \left(1+3{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx$

c) $\int \frac{2{\cos }^{3}x+3}{{\cos }^{2}x}dx$

Lời giải:

a) $\int \frac{{\cos }^{2}x}{1-\sin \text{x}}dx=\int \frac{1-{\sin }^{2}x}{1-\sin \text{x}}dx$

$=\int \frac{\left(1-\sin \text{x}\right)\left(1+\sin \text{x}\right)}{\left(1-\sin \text{x}\right)}dx$

$=\int \left(1+\sin \text{x}\right)dx=x-\cos x+C.$

b) $\int \left(1+3{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx=\int \left(1+3.\frac{1-\cos x}{2}\right)dx$

$=\int \left(\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\cos x\right)dx$

$=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\sin \text{x}+C$

c) $\int \frac{2{\cos }^{3}x+3}{{\cos }^{2}x}dx=\int \left(2\cos x+\frac{3}{{\cos }^{2}x}\right)dx$

$=\int 2\cos xdx+\int \frac{3}{{\cos }^{2}x}dx$

$=2\sin x+3\tan x+C$

Bài 4 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm hàm số f(x), biết rằng:

a) f'(x) = 2x³ – 4x + 1, f(1) = 0;

b) f'(x) = 5cosx – sinx, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

Lời giải:

a) $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$=\int \left(2x^3-4x+1\right)dx$

$\frac{x^4}{2}-2x^2+x+C.$

Mà f(1) = 0 $\Rightarrow \frac{1}{2}-2+1+C=0\Rightarrow C=\frac{1}{2}$

Vậy $f\left(x\right)=\frac{x^4}{2}-2x^2+x+\frac{1}{2}.$

b) Ta có: $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$=\int \left(5\cos x-\sin \text{x}\right)dx$

$=5\sin x+\cos x+C$

Mà $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ nên $5\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+C=1$ hay $5+C=1$ suy ra  C = −4.

Vậy f(x) = 5sinx + cosx – 4.

Bài 5 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 2) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (x; f(x)) là

$\frac{1-x}{x^2}$ với x > 0. Tìm hàm số f(x).

Lời giải:

Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (x; f(x)) là $\frac{1-x}{x^2}$ với x > 0 hay $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1-x}{x^2}$ với x > 0 và f(1) = 2.

Ta có: $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \frac{1-x}{x^2}dx$

$=\int \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\right)dx=-\frac{1}{x}-\ln x+C.$

Mà f(1) = 2 nên −1 – ln1 + C = 2 hay C = 3.

Vậy $f\left(x\right)-\frac{1}{x}-\ln x+3.$

Bài 6 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = $\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)$. Từ đó, tìm $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx$.

Lời giải:

Ta có:

$F^{\text{'}}\left(x\right)={\left[\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)\right]}^{\text{'}}$

$=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-x}.{\left(\sqrt{x^2+4}-x\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-x}.\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}-1\right)$

$=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}-x}.\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}$

$=-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\left(x\in ℝ\right).$

Suy ra $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int \left[-F^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx=-\int F^{\text{'}}\left(x\right)dx$

$=-F\left(x\right)+C=-\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)+C.$

Vậy $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx=-\ln \left(\sqrt{x^2+4}-x\right)+C.$

Bài 7 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động thẳng dọc theo một đường thẳng (có gắn trục tọa độ Ox với độ dài đơn vị bằng 1 m). Biết rằng vật xuất phát từ vị trí ban đầu là gốc tọa độ và chuyển động với vận tốc v(t) = 8 – 0,4t (m/s), trong đó t là thời gian tính theo giây (t ≥ 0).

a) Xác định tọa độ x(t) của vật tại thời điểm t, t ≥ 0.

c) Tại thời điểm nào thì vật đi qua gốc tọa độ (không tính thời điểm ban đầu)?

Lời giải:

a) Ta có: $x\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(8-\mathrm{0,4}t\right)dt$ = 8t – 0,2t² + C.

Ban đầu vật ở gốc tọa độ nên x(0) = 0, suy ra C = 0.

Vậy x(t) = 8t – 0,2t² với t ≥ 0.

b) Ta có: x(t) = 0 ⇒ 8t – 0,2t² = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 40.

Do không tính thời điểm ban đầu nên vật đi qua gốc tọa độ tại thời điểm t = 40 giây.

Bài 8 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi

 $P^{\text{'}}\left(t\right)=150\sqrt{t}$ (cá thể/ngày) với 0 ≤ t ≤ 10,

trong đó P(t) là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm t ngày kể từ thời điểm ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1 000 cá thể.

a) Xác định hàm số P(t).

b) Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải:

a $P\left(t\right)=\int P^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int 150\sqrt{t}dt=150\int t^{\frac{1}{2}}dt$

$=150.\frac{2}{3}.t^{\frac{3}{2}}+C=100t\sqrt{t}+C$

Theo giả thiết, ta có P(0) = 1 000, suy ra C = 1 000.

Do đó, $P\left(t\right)=100t\sqrt{t}+1000$

b) P(5) = 100.5.$\sqrt{5}$ + 1000 = 500$\sqrt{5}$ + 1000 ≈ 2 100 (cá thể).

Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ℝ.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}+x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 1 trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Ta có F'(x) = ${\left(\frac{x^4}{4}+x\right)}^{\text{'}}=x^3+1$ = f(x) với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}+x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + 1 trên ℝ.

● Định lí: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

+ Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

+ Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số. Ta gọi F(x) + C, C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)dx$ và viết

$\int f\left(x\right)dx$ = F(x) + C.

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2. Tìm $\int \cos xdx$ trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Vì (sin x)' = cos x với mọi x thuộc ℝ nên F(x) = sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy $\int \cos xdx$ = sin x + C trên ℝ.

Chú ý:

+ Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.

+ Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$.

2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

2.1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa

• $\int 0dx=C$;

• $\int 1dx=x+C$ ;

• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ (α ≠ – 1).

Chú ý: Người ta thường viết $\int dx$ thay cho $\int 1dx$.

Ví dụ 3. Tìm:

a) $\int x^{8}dx$;

b) $\int x^{\sqrt{3}}dx$;

c) $\int \frac{1}{x^5}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int x^{8}dx$$=\frac{1}{9}{x}^9+C$.

b) $\int x^{\sqrt{3}}dx$$=\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}+C$.

c) $\int \frac{1}{x^5}dx$$=\int x^{-5}dx=\frac{x^{-5+1}}{-5+1}+C=\frac{x^{-4}}{-4}+C=\frac{-1}{4x^4}+C$.

2.2. Nguyên hàm của hàm số y = $\frac{1}{x}$

• Ta có: $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) =  với x ≠ 0.

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(3) = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$ nên F(x) = ln|x| + C (x ≠ 0).

Do F(3) = 1 nên ln|3| + C = 1 hay C = 1 – ln3.

Vậy F(x) = ln|x| + 1 – ln3 (x ≠ 0). 

2.3. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác

• $\int \cos xdx=\sin x+C$ ;

• $\int \sin xdx=-\cos x+C$ ;

• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ ;

• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$ .

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x thỏa mãn

F(0) + $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0.

Hướng dẫn giải

Vì $\int \sin xdx=-\cos x+C$ nên F(x) = – cos x + C.

Do F(0) + $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0 nên (– cos 0 + C) + (– cos$\frac{\pi }{2}$ + C) = 0, suy ra C = $\frac{1}{2}$.

Vậy F(x) = – cos x + $\frac{1}{2}$.

2.4. Nguyên hàm của hàm số mũ

• $\int e^{x}dx=e^x+C$ ;

• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (a > 0, a ≠ 1).

Ví dụ 6. Tìm:

a) $\int 4^{x}dx$ ;

b) $\int e^{3x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int 4^{x}dx$$=\frac{4^x}{\ln 4}+C$ . 

b) $\int e^{3x}dx$$=\int {\left(e^3\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^3\right)}^x}{\ln \left(e^3\right)}+C=\frac{e^{3x}}{3}+C$ .

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

• Tính chất 1. Nguyên hàm của tích một số với một hàm số

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, ta có:

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$, với k ∈ ℝ, k ≠ 0.

Ví dụ 7. Tìm:

a) $\int \frac{4}{9x}dx$ ;

b) $\int 5\sin xdx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{4}{9x}dx$$=\frac{4}{9}\int \frac{1}{x}dx=\frac{4}{9}\ln \left|x\right|+C$ .

b) $\int 5\sin xdx$$=5\int \sin xdx=-5\cos x+C$ .

• Tính chất 2. Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên K, ta có:

• $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

• $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 8. Tìm $\int \left(4x^3-4x+5\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(4x^3-4x+5\right)dx$$=4\int x^{3}dx-4\int xdx+5\int dx$

= x4 – 2x2 + 5x + C.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Tích phân

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng