Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

A. Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm

Định lý 1

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$

Định lý 2

Ví dụ: Hàm số $y=x^2-4x+2$ có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với $x\in (2;+\mathrm{\infty })$ nên HS đồng biến trên khoảng $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$

y’ < 0 với $x\in (-\mathrm{\infty };2)$ nên HS đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và $y_{CT}$= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và $y_{CT}$= y(1) = 2

Định lý

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+30$.

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-12x+9$; y’ = 0 $\iff$x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và $y_{CT}$= y(3) = 30

B. Bài tập Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (– ∞; 0).

B. (0; 2).

C. (– 2; 0).

D. (2; + ∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y' > 0 với mọi x ∈ (0; 2) nên hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có hai cực trị.

C. Cực đại bằng – 1.

D. Cực tiểu bằng – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số y = f(x) có đạt cực tiểu tại điểm x = 3, y_CT = – 2; đạt cực đại tại điểm x = – 1, y_CĐ = 2.

Vậy các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.

Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) y = x³ + 3x² – 9x + 15;

b) y = – x⁴ + 2x² – 4;

c) $y=\frac{x-1}{x+2};$

d) $y=\frac{x^2+4}{x}.$

Hướng dẫn giải

a) y = x³ + 3x² – 9x + 15

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = 3x² + 6x – 9;

y' = 0 ⇔ 3x² + 6x – 9 = 0 ⇔ x = – 3 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 3) và (1; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 3; 1).

b) y = – x⁴ + 2x² – 4

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = – 4x³ + 4x;

y' = 0 ⇔– 4x³ + 4x = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (0; 1); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 0) và (1; + ∞).

c) $y=\frac{x-1}{x+2}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {– 2}.

Ta có $y\text{'}=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}$ ; y' > 0 với mọi x ≠ – 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (– 2; + ∞).

d) $y=\frac{x^2+4}{x}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {0}.

Ta có $y\text{'}=\frac{x^2-4}{x^2};$

y' = 0 ⇔ $\frac{x^2-4}{x^2}=0$ ⇔ x = – 2 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (2; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 2; 0) và (0; 2).

Bài 4. Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² – 9x + 1;

b) y = – x⁴ + 8x² – 7;

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}.$

Hướng dẫn giải

a) y = x³ – 3x² – 9x + 1

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = 3x² – 6x – 9;

y' = 0 ⇔3x² – 6x – 9 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = – 1; đạt cực tiểu tại điểm x = 3.

b) y = – x⁴ + 8x² – 7

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = – 4x³ + 16x;

y' = 0 ⇔– 4x³ + 16x = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = – 2 và x = 2; đạt cực tiểu tại điểm x = 0.

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{1}.

Ta có $y\text{'}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

y' = 0 ⇔ $\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}=0$$\iff x=1-\sqrt{2}$ hoặc $x=1+\sqrt{2}$

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1-\sqrt{2}$ ; đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}.$

Bài 5. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 3 m với vận tốc ban đầu là 39,2 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức

h(t) = 3 + 39,2t – 4,9t².

Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Xét hàm số h(t) = 3 + 39,2t – 4,9t².

Tập xác định của hàm số là [0; + ∞).

Ta có h'(t) = 39,2 − 9,8t;

h'(t) = 0 $\iff$ t = 4.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có hàm số h(t) đạt cực đại tại t = 4, h(t)_CĐ = 81,4.

Vậy tại thời điểm t = 4 thì vật đạt độ cao lớn nhất là 81,4 m.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác: