Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Cánh diều 2024)

Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 12

Admin Vietjack Ngày: 20-09-2024 Lớp 12

585

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

A. Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

1. Khái niệm vecto trong không gian

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng

- Các khái niệm có liên quan đến vecto trong không gian như: giá của vecto, độ dài của vecto, vecto cùang phương, vecto cùng hướng, vecto-không, hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng

2. Các phép toán vecto trong không gian

a) Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ . Khi đó, vecto $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$

- Với 3 điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (Quy tắc 3 điểm)

- Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (Quy tắc hình bình hành)

- Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ (Quy tắc hình hộp)

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Hiệu của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tổng của hai vecto $\vec{a}$ và vecto đối của $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$

Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$ (Quy tắc hiệu)

b) Tích của một số với một vecto trong không gian

Trong không gian, tích của một số thực $k \neq 0$ với một vecto $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vecto, kí hiệu là $k \vec{a}$ , được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k > 0; ngược hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k < 0

- Có độ dài bằng $| k | . | \vec{a} |$

c) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ . Khi đó, góc $\hat{A O B} (0^{\circ} \leq \hat{A O B} \leq 180^{\circ})$ được gọi là góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , được xác định bởi công thức

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$

B. Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Vectơ $\vec{u} = \vec{A' A} - \vec{A B} + \vec{A C}$ bằng vectơ nào dưới đây?

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Ta có:

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Bài 2: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G, điểm O tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên ta có $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

Khi đó, với mọi vị trí điểm O, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{O G}$ .

Chọn O ≡ A, ta được: $\vec{A A} + \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 4 \vec{A G}$ ⇔ $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ .

Vậy mệnh đề sai là: $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ .

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\hat{B A C} = \hat{B A D}$ = 60^o. Tính góc $(\vec{A B}, \vec{C D})$ .

Lời giải

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Ta có:

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Mà AC = AD = AB ⇒ $\vec{A B} . \vec{C D}$ = 0 ⇒ $(\vec{A B}, \vec{C D})$ = 90^o.

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'C. Chứng minh $\vec{B D'} = 3 \vec{B G}$

Lời giải

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Cách 1: Gọi I là tâm của hình vuông ABCD

=⇒ I là trung điểm của BD.

Ta có: ∆BIG ∽ ∆ D'B'G

⇒ $\frac{B G}{D' G} = \frac{B I}{D' B'} = \frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{B G}{B D'} = \frac{1}{3}$ = ⇒ $\vec{B D'} = 3 \vec{B G}$ =.

Cách 2: Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B B'}$ = $\vec{B D'}$ . (1)

Do G là trọng tâm tam giác AB'C nên $\vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B B'}$ = $3 \vec{B G}$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{B D'} = 3 \vec{B G}$ .

⇒ đpcm.

Bài 5: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặp phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 30^o. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn trên hàng đơn vị). Biết rằng các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}; \vec{F_{4}}$ đều có cường độ là 4 500 N và trọng lượng của khung sắt là 2 500 N.

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lời giải

Gọi A₁; B₁; C₁; D₁ lần lượt là các điểm sao cho:

Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 30^o nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc 30^o_.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra $\hat{E A_{1} O}$ == 30^o.

Ta có: | $\vec{F_{1}}$ =| = | $\vec{F_{2}}$ =| = | $\vec{F_{3}}$ =| = | $\vec{F_{4}}$ =| = 4 500 (N)

Nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁= 4 500.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁.sin $\hat{E A_{1} O}$ = = 4 500.sin30^o = 2 250 (N).

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

$\vec{E A_{1}} = \vec{E O} + \vec{O A_{1}}$ =, $\vec{E B_{1}} = \vec{E O} + \vec{O B_{1}}$ =,

= $\vec{E C_{1}} = \vec{E O} + \vec{O C_{1}}$ $\vec{E D_{1}} = \vec{E O} + \vec{O D_{1}}$ =.

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên $\vec{O A_{1}} + \vec{O C_{1}} = \vec{0}$ =, $\vec{O B_{1}} + \vec{O D_{1}} = \vec{0}$ =.

Từ đó suy ra: $\vec{E A_{1}} + \vec{E B_{1}} + \vec{E C_{1}} + \vec{E D_{1}} = 4 \vec{E O}$ =.

$\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} + \vec{F_{4}} = 4 \vec{E O}$ =.

Do đó, vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} + \vec{F_{4}} = \vec{P}$ =, ở đó là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.