Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

A. Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Các bước khảo sát hàm số

 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x^2-4$

1. Tập xác định của hàm số: R

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2

Trên khoảng $\left(0;2\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$

BBT:

4. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;4\right)$

Ta có: y = 0 $\iff$x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left(-1;0\right)$ và $\left(2;0\right)$

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $\left(1;-2\right)$

 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

a) Hàm số phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,ad-bc\ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-\frac{3}{{(x-2)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$

Hàm số không có cực trị

Tiệm cận: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=1;\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\mathrm{\infty }=1$

                  $\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1

BBT:

4. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-1;0\right)$

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;1\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

b) Hàm số phân thức $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}(a\ne 0,p\ne 0)$ (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên: Viết $y=x+1+\frac{1}{x-2}$

Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{1}{{(x-2)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{{(x-2)}^2}$ . Vậy y’ = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = 3

Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này

Trên các khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với $y_{CT}=5$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$; $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x+1

BBT:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

Ta có: $y=0\iff x=\frac{1-\sqrt{5}}{2};x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)$

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;3\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

4. Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 2022

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(t)

c) Đạo hàm của hàm số y = f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm ?

Giải:

a) Ta có: $f(52)=\frac{26.52+10}{52+5}=\frac{1362}{57}\approx 23,895$ (nghìn người)

Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23895 nghìn người

b) 1) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(t)=26$. Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• BBT:

$f^{\prime }(t)=\frac{120}{{(t+5)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung (0;2)
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;6). Vậy đồ thị hàm số $y=f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$, $t\ge 0$ được cho ở hình vẽ sau

c)

• Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó là:

$f^{\prime }(52)=\frac{120}{{(52+5)}^2}=\frac{40}{1083}$

• Ta có:

$f^{\prime }(t)=0,192\iff \frac{120}{{(t+5)}^2}=0,192\iff (t+5{)}^2=625\iff t=20$ (do $t\ge 0$)

Vậy vào năm 1990, tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm

B. Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1. Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số:

A. y = x³ – 3x + 1.

B. y = x³ – 3x² + 1.

C. y = – x³ + 3x + 1.

D. y = – x³ – 3x² – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số trên có hai điểm cực trị là (– 1; 3) và (1; – 1) và đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 1).

Xét hàm số y = x³ – 3x + 1:

+ Có y' = 3x² – 3; y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.

Với x = – 1 thì y = 3 và với x = 1 thì y = – 1.

Từ đó suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 1; 3) và (1; – 1).

+ Với x = 0 thì y = 1, suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 1).

Vậy đường cong trong hình vẽ trên là đồ thị của hàm số y = x³ – 3x + 1.

Bài 2. Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số:

A. $y=\frac{-x}{x+1}.$

B. $y=\frac{-x+1}{x+1}.$

C. $y=\frac{-x+1}{2x+1}.$

D. $y=\frac{-x+1}{2x+2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = – 1 nên loại các đáp án C và D.

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 1) nên loại đáp án A.

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = – x³ + 3x² – 4x + 2;

b) $y=\frac{x-2}{2x+1};$

c) $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}.$

Hướng dẫn giải

a) y = – x³ + 3x² – 4x + 2

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty .$

- y' = – 3x² + 6x – 4 = – 3(x – 1)² – 1 < 0 với mọi x ∈ ℝ;

- Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Xét phương trình – x³ + 3x² – 4x + 2 = 0 ⇔ (x – 1)( – x² + 2x – 2) = 0 ⇔ x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(1; 0).

b) $y=\frac{x-2}{2x+1}$

1) Tập xác định: ℝ \ $\left(-\frac{1}{2}\right)$

2) Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }y=-\infty .$ Do đó, đường thẳng x = $-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\frac{1}{2},\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\frac{1}{2}.$ Do đó, đường thẳng y = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$y^{\text{'}}=\frac{5}{{\left(2x+1\right)}^2}$ > 0 với mọi x ≠ $-\frac{1}{2}$

- Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$

Hàn số không có cực trị.

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 2).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (2; 0).

Đồ thị hàm số đã cho được vẽ như hình dưới đây.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

c) $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y=x+1+\frac{1}{x-2}$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=-\infty ,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=+\infty .$ Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x-2}=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x+2}=0$. Do đó, đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$y^{\text{'}}=\frac{x^2-4x+3}{{\left(x-2\right)}^2};$

y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

- Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (3; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (1; 2) và (2; 3).

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y_CĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 3, y_CT = 5.

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Ta có y = 0 ⇔ x² – x – 1 = 0

⇔ x = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc x = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right)$ và điểm $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)$

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Bài 4. Một nhà sản xuất làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Đổi 1 lít = 1 000 cm³.

Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ.

Diện tích toàn phần của hình trụ là S = 2πr² + 2πh.

Do thể tích của hình trụ là 1 000 cm³ nên ta có: 1 000 = V = πr²h, hay $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là S = 2πr² + $\frac{2000}{r}$, r > 0.

Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: $S^{\text{'}}=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2000}{r^2}$

S' = 0 ⇔ πr³ = 500 ⇔ r = $\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$

Bảng biến thiên:

Khi đó, $h=\frac{1000}{\pi r^2}=\frac{1000}{\pi \sqrt[3]{\frac{250000}{{\pi }^2}}}=\frac{100}{\sqrt[3]{250\pi }}$

Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}\approx 5,42$ (cm) và chiều cao $h=\frac{100}{\sqrt[3]{250\pi }}\approx 10,84$ (cm).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác: