Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

A. Lý thuyết Toán 9 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Cho góc nhọn α. Xét tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng α.

Ta có:

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của α, kí hiệu sin α.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của α, kí hiệu cos α.

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc α gọi là tang của α, kí hiệu tan α.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc α gọi là côtang của α, kí hiệu cot α.

Nhận xét:

• Trong hình trên, các tam giác vuông có cùng một góc nhọn α là đồng dạng với nhau. Vì vậy các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền (cạnh kề và cạnh huyền), cạnh đối và cạnh kề (cạnh kề và cạnh đối) của góc nhọn α là như nhau, cho dù độ dài các cạnh đối (các cạnh kề) của góc α và cạnh huyền có thể khác nhau với từng tam giác.

Chú ý: Ta có:

• sin α, cos α, tan α, cot α gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn α.

• sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất.

• Ta có bảng sau:

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí:

• Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Chú ý:

• Cho α và β là hai góc phụ nhau, khi đó: sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β.

• Về số đo, hai góc phụ nhau có thể coi là hai góc nhọn của một tam giác vuông.

3. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Định lý 1: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Chú ý:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$b=a.\sin B=a.\cos C;$ $c=a.\sin C=a.\cos B.$

4. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Định lí 2. Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Chú ý:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$b=c.\tan B=c.\cot C;$ $c=b.\tan C=b.\cot B.$

5. Giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán Giải tam giác vuông.

B. Bài tập Toán 9 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c, trong các trường hợp:

a) a = 22 cm, b = 16 cm;

b) b = 8 cm, $\hat{C}=45°$.

(Các kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất hoặc làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí Pythagore, ta có: a² = b² + c²

Suy ra c² = a² – b² = 22² – 16² = 228.

Do đó$c=\sqrt{228}=2\sqrt{57}\approx 15,1$ (cm).

Ta có:

• $\hat{A}=90°$ (do tam giác ABC vuông tại A).

• $\sin B=\frac{b}{a}=\frac{16}{22}\approx 0,72$, suy ra $\hat{B}\approx 46°$.

• Do $\hat{A}=90°$ nên $\hat{C}=\hat{A}-\hat{B}\approx 90°-46°=44°$.

Vậy c ≈ 15,1 cm; $\hat{A}=90°$; $\hat{B}\approx 46°$; $\hat{C}\approx 44°$.

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, có $\hat{C}=45°$ suy ra $\hat{A}=90°,$ $\hat{B}=45°.$

Suy ra, tam giác ABC là tam giác vuông cân (do $\hat{B}=\hat{C}=45°$).

Do đó, b = c = 8 (cm).

Theo định lí Pythagore, ta có: a² = b² + c² = 8² + 8² =128.

Do đó$a=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\approx 11,31$ (cm).

Vậy a ≈ 11,31 cm; c = 8 cm; $\hat{A}=90°$, $\hat{B}=45°.$

Bài 2. Tìm các góc của hình thoi có hai đường chéo dài $\sqrt{3}$ và 3.

Hướng dẫn giải

Xét hình thoi ABCD, có AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

Ta có: $\tan \widehat{DBC}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{DBC}=60°$.

Mà $\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=120°$ nên $\hat{B}=\hat{D}=120°$ (tính chất hình thoi).

Ta có: AB // CD nên $\hat{B}+\hat{C}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\hat{C}=180°-120°=60°$

Do đó $\hat{A}=\hat{C}=60°$ (tính chất hình thoi).

Vậy $\hat{A}=\hat{C}=60°$; $\hat{B}=\hat{D}=120°$

Bài 3. Một cây cao có chiều cao 6m. Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Trong hình vẽ trên, BC là chiều dài của thang tre, AC là chiều cao của cây tre, và AB là khoảng cách từ thang tre tới cây tre.

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ ⇒ $\hat{B}\approx 48°$

Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là 48°.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=36°;$ độ dài cạnh huyền bằng 20 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông trong mỗi trường hợp sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\hat{B}=36°$, ta có:

• AB = BC . cos B = 20 . cos 36° ≈ 16,18 (cm).

• AC = BC . sin B = 20 . sin 36° ≈ 11,76 (cm).

Vậy AB ≈ 16,18 cm; AC ≈ 11,76 cm.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 5 cm và $\widehat{ACB}=30°$. Tính AC, BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:AC = AB.cot C.

Suy ra $AC=5.\cot 30°=5\sqrt{3}$ (cm).

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²$=5^2+{\left(5\sqrt{3}\right)}^2=100$

Do đó $BC=\sqrt{100}=10$ (cm).

Vậy $AC=5\sqrt{3}$ cm, BC = 10 cm.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 5 cm, BC = 19 cm;

b) AC = 0,8 cm, AB = 1,2 cm.

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 19² – 5² = 336

Do đó $AC=\sqrt{336}=4\sqrt{21}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B và góc C là:

b) Theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 0,8² + 1,2² = 2,08.

Suy ra $BC=\sqrt{2,08}=\frac{2\sqrt{13}}{5}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B và góc C là:

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 2 và $\sqrt{2}.$ Tính $\widehat{CAD}$. (làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình chữ nhật  nên $\widehat{ADC}=90°$.

Xét tam giác ACD vuông tại D, ta có: $\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Do đó $\widehat{CAD}\approx 55°.$

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật bằng 55°.

Bài 8. Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38°.

Hướng dẫn giải

Đặt BC = x (m).

Theo đề bài, ta có: AC = AB + BC = 500 + x (m)

Xét tam giác ACD vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}$ nên$CD=AC.\tan \widehat{CAD}$

Suy ra CD = (500 + x).tan 34° (1)

Xét tam giác BCD vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{CBD}=\frac{CD}{BC}$ nên$CD=BC.\tan \widehat{CBD}$

Suy ra  CD = x.tan 38° (2)

Từ (1) và (2), ta có:(500 + x).tan 34° = x.tan 38°

500.tan 34° + x.tan 34° = x.tan 38°

x.tan 38° − x.tan 34° = 500.tan 34°

x.(tan 38° − tan 34°) = 500.tan 34°

Do đó $x=\frac{500.\tan 34°}{\tan 38°-\tan 34°}\approx 3158,5$ (m).

Chiều cao của ngọn núi là: CD ≈ 3158,5.tan 38° ≈ 2467,7 (m).

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2467,7 m.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: