Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chương 3: Căn bậc hai và căn bậc ba sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Chương 3: Căn bậc hai và căn bậc ba

A. Lý thuyết Toán 9 Chương 3: Căn bậc hai và căn bậc ba

1. Căn bậc hai

• Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho x² = a.

Tính chất:

• $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ với mọi số thực a.

Nhận xét:

• Số âm không có căn bậc hai.

• Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0.

• Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học của a) và $-\sqrt{a}.$

2. Căn thức bậc hai

• Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A},$ trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

• $\sqrt{A}$ xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là A ≥ 0. Ta nói A ≥ 0 là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}.$

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$:

Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với A là một biểu thức, ta cũng có:

• Với A ≥ 0 ta có $\sqrt{A}\ge 0;$ ${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A;$

• $\sqrt{A^2}=\left|A\right|.$

3. Khai căn bậc hai và phép nhân

• Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{AB}.$

Chú ý:

• Phép nhân có thể mở rộng cho nhiều biểu thức không âm, ví dụ:

$\sqrt{A}.\sqrt{B}.\sqrt{C}=\sqrt{A.B.C}$ (với A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ 0).

• Nếu A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ 0 thì $\sqrt{A^2{B}^2{C}^2}=ABC.$

4. Khai căn bậc hai và phép chia

Nếu A, B là các biểu thức với A ≥ 0, B > 0 thì $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}.$

5. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

• Nếu a là một số và b là một số không âm thì $\sqrt{a^2.b}=\left|a\right|\sqrt{b}.$

Chú ý:

• Phép biến đổi trên gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Khi tính toán những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (tức là biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

6. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Nếu a và b là hai số không âm thì $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}.$

• Nếu a là số âm và b là số không âm thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}.$

Chú ý: Các phép biến đổi trên gọi là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

7. Trục căn thức ở mẫu

• Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}.$

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B², ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C\left(\sqrt{A}-B\right)}{A-B^2};$ $\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C\left(\sqrt{A}+B\right)}{A-B^2}.$

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B, ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}{A-B};$ $\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}{A-B}.$

8. Căn bậc ba

• Căn bậc ba của số thực a là số thực x thỏa mãn x³ = a.

Chú ý:

• Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. Căn bậc ba của số a được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}.$ Trong kí hiệu $\sqrt[3]{a},$ số 3 được gọi là chỉ số của căn. Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

Nhận xét:

• Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=\sqrt[3]{a^3}=a$ với mọi số thực a.

9. Căn thức bậc ba

• Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng $\sqrt[3]{A},$ trong đó A là một biểu thức đại số.

Chú ý:

• Tương tự căn bậc ba của một số, ta cũng có ${\left(\sqrt[3]{A}\right)}^3=\sqrt[3]{A^3}=A$ (A là một biểu thức).

• Để tính giá trị của $\sqrt[3]{A}$ tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giá trị cho trước của biến vào căn thức rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.

B. Bài tập Toán 9 Chương 3: Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 1. Cho căn thức $\sqrt{x^2-2x+1}.$

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x;

b) Rút gọn căn thức đã cho với x ≥ 1;

c) Chứng tỏ rằng với mọi x ≥ 1, biểu thức $\sqrt{x-\sqrt{x^2-2x+1}}$ có giá trị không đổi.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{x^2-2x+1}$ là x² – 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x² – 1) ≥ 0 ∀ x

Suy ra căn thức xác định với mọi giá trị của x.

b) Với x ≥ 1, ta có: $\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}=\left|x-1\right|=x-1.$

c) Với x ≥ 1, ta có:

$\sqrt{x-\sqrt{x^2-2x+1}}=\sqrt{x-\left(x-1\right)}=\sqrt{x-x+1}=\sqrt{1}=1.$

Bài 2. Chứng minh rằng:

a) ${\left(2-\sqrt{5}\right)}^2=9-4\sqrt{5};$

b) ${\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2=11+2\sqrt{30}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: VT = ${\left(2-\sqrt{5}\right)}^2=2^2-\mathrm{2.2.}\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2$

$=4-4\sqrt{5}+5=9-4\sqrt{5}=VP$ (ĐPCM).

b) Ta có: $VT={\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+2.\sqrt{5}.\sqrt{6}+{\left(\sqrt{6}\right)}^2$

$=5+2.\sqrt{30}+6=11+2\sqrt{30}=VP$ (ĐPCM).

Bài 3. Điện áp V (tính theo volt) yêu cầu cho một mạch điện được cho bởi công thức $V=\sqrt{PR},$ trong đó P là công suất (tính theo watt) và R là điện trở trong (tính theo ohm).

a) Cần bao nhiêu volt để thắp sáng một bóng đèn A có công suất 100 watt và điện trở của mỗi bóng đèn là 110 ohm?;

b) Bóng đèn B có điện áp bằng 110 volt, điện trở trong là 88 ohm có công suất lớn hơn bóng đèn A không? Giải thích.

Hướng dẫn giải

a) Thay P = 100, R = 110 vào công thức $V=\sqrt{PR},$ ta được:

$V=\sqrt{100.110}\approx 104,88$ (volt)

Vậy số volt để thắp sáng một bóng đèn A là 104,88 (volt).

b) Thay V = 110, R = 88 vào công thức $V=\sqrt{PR},$ ta được:

$\sqrt{P.88}=110$ ⇒ P.88 = (110)² ⇒ $P=\frac{{\left(110\right)}^2}{88}\approx 137,50$ (watt) > 100 (watt)

Vậy bóng đèn B có công suất lớn hơn bóng đèn A.

Bài 4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{48};$

b) $\sqrt{72a}$ (a ≥ 0);

c) $\sqrt{4\sqrt{7}-8};$

d) $\sqrt{50\sqrt{3}+100}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 48 = 4².3 nên $\sqrt{48}=\sqrt{4^2.3}=4\sqrt{3}.$

b) Ta có: 72 = 6².2 nên $\sqrt{72a}=\sqrt{6^2.2a}=6\sqrt{2a}.$

c) Ta có: $\sqrt{4\sqrt{7}-8}=\sqrt{4\left(\sqrt{7}-2\right)}$

$=\sqrt{2^2\left(\sqrt{7}-2\right)}=2\sqrt{\sqrt{7}-2}.$

d) Ta có: $\sqrt{50\sqrt{3}+100}=\sqrt{50\left(\sqrt{3}+2\right)}$

$=\sqrt{5^2.2\left(\sqrt{3}+2\right)}=5\sqrt{2\sqrt{3}+4}.$

Bài 5. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $7\sqrt{2};$

b) $-3\sqrt{5};$

c) $3\sqrt{\frac{13}{9}};$

d) $-4\sqrt{\frac{13}{4}.}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $7\sqrt{2}=\sqrt{7^2.2}=\sqrt{49.2}=\sqrt{98}.$

b) Ta có: $-3\sqrt{5}=-\sqrt{3^2.5}=-\sqrt{9.5}=-\sqrt{45}.$

c) Ta có: $3\sqrt{\frac{13}{9}}=\sqrt{3^2.\frac{13}{9}}=\sqrt{9.\frac{13}{9}}=\sqrt{13}.$

d) Ta có: $-4\sqrt{\frac{13}{4}}=-\sqrt{4^2.\frac{13}{4}}=-\sqrt{13.4}=-\sqrt{52}.$

Bài 6. Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) 0,25;

b) $\frac{16}{81}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $0,25=\frac{1}{4}$ mà $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0,5$ nên 0,25 có hai căn bậc hai là 0,5 và −0,5.

b) Ta có $\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}=\frac{4}{9}\approx 0,44$ nên $\frac{16}{81}$ có hai căn bậc hai là 0,44 và −0,44.

Bài 7. Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{2x-9}$ và tính giá trị của căn thức tại x = 5.

Hướng dẫn giải

Xét căn thức $\sqrt{2x-9}$

Điều kiện xác định của căn thức là 2x – 9 ≥ 0 hay $x\ge \frac{9}{2}.$

Tại x = 5 (thỏa mãn điều kiện xác định) căn thức có giá trị là $\sqrt{2.5-9}=1.$

Bài 8. Rút gon các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(3+\sqrt{4}\right)}^2};$

b) $\sqrt{x^2-6x+9}$ với x < 3.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|,$ 

ta có $\sqrt{{\left(3+\sqrt{4}\right)}^2}=\left|3+\sqrt{4}\right|.$

Vì $3+\sqrt{4}>0$ suy ra $\left(3+\sqrt{4}\right)=3+\sqrt{4}=3+2=5$ ∀ x.

b) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|,$ ta có $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=\left|x-3\right|.$

Do giả thiết x < 3 suy ra x – 3 < 0 nên $\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)=3-x.$

Vì vậy$\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=3-x$ với x < 3.

Bài 9. Tìm giá trị của x, biết:

a) x² + 36 = 0;

b) $\sqrt{x}-4=\frac{1}{3};$

c) $\sqrt{x^2-6x+9}-1=3.$

Hướng dẫn giải

a) Xét biểu thức: x² + 36 = 0 hay x² = −36

Suy ra biểu thức vô nghiệm vì x² ≥ 0 ∀x.

b) Xét căn thức $\sqrt{x}:$

Điều kiện xác định của căn thức là x ≥ 0.

Ta có: $\sqrt{x}-4=\frac{1}{3}$

$\sqrt{x}=\frac{13}{3}$

$x={\left(\frac{13}{3}\right)}^2$

$x=\frac{169}{9}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=\frac{169}{9}$

c) Xét căn thức $\sqrt{x^2-6x+9}:$

Điều kiện xác định của căn thức là x² – 6x + 9 =(x – 3)² ≥ 0 ∀x.

Suy ra căn thức có nghĩa với mọi x.

Ta có: $\sqrt{x^2-6x+9}-1=3$

$\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=4$

$\left|x-3\right|=16=4^2$

x – 3 = 4 hoặc x – 3 = –4

x = 7 hoặc x = –1

Vậy x ∈ {−1; 7}.

Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(4-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2};$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}+5-2\sqrt{2};$

c) ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10};$

d) $\frac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$ với x ≥ 0; x ≠ 4.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{\left(4-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\left|4-\sqrt{3}\right|+\left|1+\sqrt{3}\right|$

$=4-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}=5$.

b) Ta có: $\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}+5-2\sqrt{2}$

$=\left|3-\sqrt{2}\right|+5-2\sqrt{2}$

$=3-\sqrt{2}+5-2\sqrt{2}$

$=8-3\sqrt{2}.$

c) Ta có: ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10}$

$={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2.\sqrt{2}.\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10}$

$=4+2\sqrt{10}+5-2\sqrt{10}=9.$

d) Ta có: $\frac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$ (x ≥ 0; x ≠ 4)

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-1.\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-2}$ $=\sqrt{x}-1.$

Bài 11. Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{7+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}};$

b) $\frac{1}{\sqrt{6}-3};$

c) $\frac{5+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}};$

d) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}.$

Hướng dẫn giải

a) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{3},$ ta được:

$\frac{7+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}+2.3}{3}=\frac{7\sqrt{3}+6}{3}.$

b) Biểu thức liên hợp của mẫu là $\sqrt{6}+3.$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{6}+3,$ ta được:

$\frac{1}{\sqrt{6}-3}=\frac{\sqrt{6}+3}{\left(\sqrt{6}-3\right)\left(\sqrt{6}+3\right)}=\frac{\sqrt{6}+3}{6-9}=-\frac{\sqrt{6}+3}{3}.$

c) Biểu thức liên hợp của mẫu là $1+\sqrt{5}.$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $1+\sqrt{5},$ ta được:

$\frac{5+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}{\left(1+\sqrt{5}\right)}^2}{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}=\frac{\sqrt{5}\left(6+2\sqrt{5}\right)}{1-5}=-\frac{6\sqrt{5}+10}{4}=-\frac{3\sqrt{5}+5}{2}.$

d) Biểu thức liên hợp của mẫu là $\sqrt{2}-\sqrt{3}.$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{2}-\sqrt{3},$ ta được:

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{8}\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{16}-\sqrt{24}}{2-3}=2\sqrt{6}-4.$

Bài 12. Tính:

a) $\sqrt[3]{343};$

b) $\sqrt[3]{-125};$

c) $\sqrt[3]{-0,008};$

d) $\sqrt[3]{0,729}.$

Hướng dẫn giải

a) Vì 7³ = 343 nên $\sqrt[3]{343}=7.$

b) Vì (−5)³ = −125 nên $\sqrt[3]{-125}=-5.$

c) Vì (−0,2)³ = −0,008 nên $\sqrt[3]{-0,008}=0,2.$

d) Vì 0,9³ = 0,729 nên $\sqrt[3]{0,729}=0,9.$

Bài 13. Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng 1024 dm³. Bạn hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu dm?

Hướng dẫn giải

Công thức tính thể tích của một hình hộp chữ nhật có chiều dài cạnh a là V = a³, suy ra chiều dài cạnh là $a=\sqrt[3]{V}.$

Do đó, ta có chiều dài cạnh thùng tôn hình lập phương bằng:

$\sqrt[3]{1024}=\sqrt[3]{512.2}=\sqrt[3]{8^3.2}=8\sqrt{2}\approx 11,31$ (dm)

Vậy chiều dài cạnh thùng tôn khoảng 11,31 dm.

Bài 14. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\sqrt[3]{8x^3-12x^2+6x-1}$ tại x = 5.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt[3]{8x^3-12x^2+6x-1}$

$=\sqrt[3]{{\left(2x\right)}^3-3.{\left(2x\right)}^2.1+3.2x.1-1^3}$

$=\sqrt[3]{{\left(2x-1\right)}^3}$

$={\left(\sqrt[3]{2x-1}\right)}^3$

= 2x – 1

Tại x = 5, biểu thức có giá trị là 2.5 – 1 = 10 – 1 = 9.

Vậy tại x = 5, biểu thức $\sqrt[3]{8x^3-12x^2+6x-1}$ có giá trị là 9.

Bài 15. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^3};$

b) $\sqrt[3]{{\left(3\sqrt{2}+1\right)}^3};$

c) ${\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+1}\right)}^3.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt[3]{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^3}={\left(\sqrt[3]{1-\sqrt{3}}\right)}^3=1-\sqrt{3}.$

b) Ta có: $\sqrt[3]{{\left(3\sqrt{2}+1\right)}^3}={\left(\sqrt[3]{3\sqrt{2}+1}\right)}^3=3\sqrt{2}+1.$

c) Ta có: ${\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+1}\right)}^3=\sqrt{5}+1.$

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: