Với giải Bài 13 trang 83 Toán 12 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài tập cuối chương 2 trang 82 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 2 trang 82

Bài 13 trang 83 Toán 12 Tập 1: Xét hệ toạ độ Oxyz gắn với hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như Hình 39, đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình lập phương. Biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1).

a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác A'BD.

c) Xác định toạ độ các vectơ $\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$. Chứng minh rằng ba điểm O, G, C' thẳng hàng và OG = $\frac{1}{3}$OC'.

Lời giải:

a) Ta có điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên cao độ của điểm C bằng 0.

Lại có CB ⊥ Ox tại B nên hoành độ của điểm C là 1, CD ⊥ Oy tại D nên tung độ của điểm C là 1. Vậy C(1; 1; 0).

Tương tự như vậy, ta xác định được B'(1; 0; 1) và D'(0; 1; 1).

Ta có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(0;0;1\right),\overrightarrow{AB}=\left(1;0;0\right),\overrightarrow{AD}=\left(0;1;0\right)$ .

Áp dụng quy tắc hình hộp trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' ta có

$\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ = (0+1+0; 0+0+1; 1+0+0) = (1;1;1)

Do đó, $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(1;1;1\right)$, suy ra C'(1; 1; 1).

b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BD là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_G=\frac{0+1+0}{3}=\frac{1}{3};y_G=\frac{0+0+1}{3}=\frac{1}{3};z_G=\frac{1+0+0}{3}=\frac{1}{3}$.

Vậy $G\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

c) Vì $G\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$ nên $\overrightarrow{OG}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$

Ta có $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}=\left(1;1;1\right)$, do đó $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$ cùng phương nên hai hai đường OG và OC' song song hoặc trùng nhau, mà OG ∩ OC' = O nên hai đường thẳng này trùng nhau, tức là ba điểm O, G, C' thẳng hàng.

Từ $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$ suy ra ,