Với lời giải Toán 8 trang 57 Tập 2 chi tiết trong Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 2 trang 57 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích giữa ΔADB và ΔADC.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có AD là đường phân giác nên $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

$\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

Nên $\frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

Vậy $\mathrm{DB}=\frac{40}{7}\mathrm{cm}, \mathrm{BC}=\frac{30}{7}\mathrm{cm}$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}AH.DB}{{\displaystyle \frac{1}{2}}AH.DC}=\frac{DB}{DC}=\frac{{\displaystyle \frac{40}{7}}}{{\displaystyle \frac{30}{7}}}=\frac{4}{3}$.

Bài 3 trang 57 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E ∈ AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE.

b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE.

Lời giải:

a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$(tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 cm; AC = 20 cm.

Nên $\frac{DB}{Dc}=\frac{15}{20}$

Suy ra: $\frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: $\frac{DB}{BC}=\frac{15}{35}$

Nên: $\mathrm{DB}=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}\left(\mathrm{cm}\right)$

Do đó $DC=BC-BD=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}\left(\mathrm{cm}\right)$

Xét tam giác ABC có DE // AB, theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow \frac{DE}{15}=\frac{{\displaystyle \frac{100}{7}}}{25}$

Vậy $\mathrm{DE}=\frac{60}{7}\mathrm{cm}$.

b) Xét tam giác ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm.

Nên ${\mathrm{BC}}^2=A{\mathrm{B}}^2+A{\mathrm{C}}^2$ suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Khi đó, ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.20.15=150\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích tam giác ABC là 150 cm².

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có: 

$\frac{S_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BD}{{\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BC}=\frac{DB}{DC}=\frac{{\displaystyle \frac{40}{7}}}{{\displaystyle \frac{30}{7}}}=\frac{4}{3}$

Suy ra $S_{ADB}=\frac{3}{7}\cdot S_{ABC}=\frac{3}{7}\cdot 150=\frac{450}{7}\left(c{m}^2\right)$

$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}={\left(\frac{DE}{AB}\right)}^2={\left(\frac{\frac{60}{7}}{25}\right)}^2=\frac{144}{1225}$

Suy ra

$S_{DCE}=\frac{144}{1225}\cdot S_{ABC}=\frac{144}{1225}\cdot 150=\frac{864}{49}\left(c{m}^2\right)$

$S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}=150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}\left(c{m}^2\right)$

Vậy $S_{ADB}=\frac{450}{7}c{m}^2; S_{DCE}=\frac{864}{49}c{m}^2; S_{ADE}=\frac{3336}{49}c{m}^2$

Bài 4 trang 57 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

a) Tính BC, DB, DC.

b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có: 

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$ suy ra BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ suy ra $\frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow 4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}\left(cm\right).$

Do đó $DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}\left(cm\right).$

Vậy BC = 5 cm, $DB=\frac{15}{7}\mathrm{cm}$, $DC=\frac{20}{7}\mathrm{cm}$

b) Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\Rightarrow A\mathrm{H}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}\left(\mathrm{cm}\right)$

Tam giác ABH vuông tại H nên 

$HB=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\frac{9}{5}\left(\mathrm{cm}\right)$

Ta có: $HD=DB-HB=\frac{15}{7}-\frac{9}{5}=\frac{12}{35}$(cm)

Tam giác ABH vuông tại H nên 

$AD=\sqrt{H{D}^2+A{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{12}{35}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)$

Vậy $A\mathrm{H}=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$, $\mathrm{HD}=\frac{12}{35}\mathrm{cm}$, $AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}\mathrm{cm}$.

Bài 5 trang 57 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC.

Lời giải:

• Xét tam giác ABM có MD là đường phân giác $\widehat{AMB}$ suy ra $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$.

• Xét tam giác ACM có ME là đường phân giác $\widehat{AMC}$ suy ra $\frac{EA}{\mathrm{EB}}=\frac{MA}{MC}$.

Mà MB = MC, do đó: $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$, theo định lí Thalès đảo ta có: DE // BC.