Với lời giải Toán 8 trang 90 Tập 2 chi tiết trong Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Thử thách nhỏ trang 90 Toán 8 Tập 2: 1. Biết rằng ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I, ba đường phân giác của tam giác A'B'C' đồng quy tại I'. Hãy chứng tỏ rằng nếu $\widehat{A\text{'}I\text{'}B\text{'}}=\widehat{AIB}$  và $\widehat{A\text{'}I\text{'}C\text{'}}=\widehat{AIC}$  thì ∆A'B'C' ∽ ∆ABC.

2. Với hai tam giác ABC và A'B'C' trong phần Tranh luận, nếu thêm giải thiết các góc C và C' nhọn thì hai tam giác đó có đồng dạng không?

Lời giải:

1.

Do tổng các góc trong một tam giác bằng 180^○ nên:

$\frac{\widehat{A\text{'}}+\widehat{B\text{'}}}{2}=180°-\widehat{A\text{'}I\text{'}B\text{'}}=180°-\widehat{AIB}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}$.

Suy ra $\widehat{A\text{'}}+\widehat{B\text{'}}=\widehat{A}+\widehat{B}$ . Do đó $\widehat{C\text{'}}=180°-\widehat{A\text{'}}-\widehat{B\text{'}}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=\widehat{C}$ .

Tương tự ta có $\widehat{B}=\widehat{B\text{'}}$ . Vậy tam giác ABC và A'B'C' có: $\widehat{B}=\widehat{B\text{'}}$ ; $\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}$ .

Do đó ∆ABC ∽ ∆A'B'C' (g.g).

2. Nếu góc C và góc C' đều nhọn, lấy điểm M trên tia BC sao cho ∆ABM ∽ ∆A'B'C'.

Giả sử điểm C không trùng với M.

Khi đó ∆ABM ∽ ∆A'B'C' nên $\frac{A\text{'}C\text{'}}{AM}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BM}$ .

Mà $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$  (gt) nên $\frac{A\text{'}C\text{'}}{AM}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$ , suy ra AC = AM hay ∆AMC cân tại A.

+) Nếu M nằm giữa B và C thì

$\widehat{AMB}=180°-\widehat{AMC}=180°-\widehat{ACM}>90°>\widehat{C\text{'}}$ (Vô lí).

+) Nếu C nằm giữa B và M (như Hình 9.19). Khi đó

 $\widehat{ACB}=180°-\widehat{ACM}=180°-\widehat{AMB}=180°-\widehat{C\text{'}}>90°$(Vô lí).

Vậy điểm C phải trùng với M và ∆ABC ∽ ∆A'B'C'.

Bài tập

Bài 9.5 trang 90 Toán 8 Tập 2: Giả thiết nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?

a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.

b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau.

c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia.

d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.

Lời giải:

Giả thiết a) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Giả thiết c) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Các giả thiết b) và d) không suy ra hai tam giác đồng dạng.

Bài 9.6 trang 90 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4 cm, 8 cm và 10 cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33 cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?

a) 6 cm, 12 cm, 15 cm.                         b) 8 cm, 16 cm, 20 cm.

c) 6 cm, 9 cm, 18 cm.                           d) 8 cm, 10 cm, 15 cm.

Lời giải:

Vì 6 + 12 + 15 = 33 (cm) và $\frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{10}{15}$ nên bộ ba trong câu a) là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu. Các bộ ba còn lại hoặc không có tổng bằng 33 cm hoặc không có tỉ lệ tương ứng với (4 : 8 : 10) nên không thể là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu.

Bài 9.7 trang 90 Toán 8 Tập 2: Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA′B′C′ ∽ ΔABC.

Chứng minh rằng $\frac{A\text{'}M\text{'}}{AM}=\frac{B\text{'}N\text{'}}{BN}=\frac{C\text{'}P\text{'}}{CP}$

Lời giải:

Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC nên:$\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$ ; (1)

và $\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\widehat{ABC};\widehat{B\text{'}C\text{'}A\text{'}}=\widehat{BCA};\widehat{C\text{'}A\text{'}B\text{'}}=\widehat{CAB}$ . (2)

Hai tam giác A'B'M' và ABM có:

 $\frac{B\text{'}M\text{'}}{BM}=\frac{\frac{B\text{'}C\text{'}}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{B\text{'}A\text{'}}{BA}$ (theo (1));

$\widehat{A\text{'}B\text{'}M\text{'}}=\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\widehat{ABC}=\widehat{ABM}$ (theo (2)).

Do đó ΔA′M′B′ ∽ ΔAMB (c.g.c). Suy ra $\frac{A\text{'}M\text{'}}{AM}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}$  (3).

Tương tự ΔA′C′P′ ∽ ΔACP và $\frac{C\text{'}P\text{'}}{CP}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$ (4).

ΔA′B′N′ ∽ ΔABN  và $\frac{B\text{'}N\text{'}}{BN}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}$ (5).

Từ (1), (3), (4) và (5) suy ra $\frac{A\text{'}M\text{'}}{AM}=\frac{B\text{'}N\text{'}}{BN}=\frac{C\text{'}P\text{'}}{CP}$ .

Bài 9.8 trang 90 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 10 cm, AN = 8 cm. Chứng minh rằng ΔABC ∽ ΔANM

Lời giải:

Có  AB = 12 cm , AN = 8 cm. Suy ra $\frac{AN}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ .

      AC = 15 cm,  AM = 10 cm. Suy ra $\frac{AM}{AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ .

Suy ra $\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$ .

Xét hai tam giác ABC và tam giác ANM có:

$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$, $\widehat{A}$  chung.

Do đó ΔABC ∽ ΔANM (c.g.c).

Bài 9.9 trang 90 Toán 8 Tập 2: Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$.

a) Chứng minh rằng ΔABN ∽ ΔACM.

b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB . IN = IC . IM.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM:

$\widehat{A}$chung, $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ (giả thiết)

Suy ra ΔABN ∽ ΔACM (g.g).

b) Vì ΔABN ∽ ΔACM (chứng minh trên) nên $\widehat{ANB}=\widehat{AMC}$ .

Lại có: $\widehat{ANB}+\widehat{CNB}=180°;\widehat{AMC}+\widehat{BMC}=180°$(kề bù), suy ra $\widehat{CNB}=\widehat{BMC}$ .

Xét tam giác IBM và tam giác ICN có:

$\widehat{CNB}=\widehat{BMC}$ (cmt) và $\widehat{IBM}=\widehat{ICN}$  (do $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$)

Suy ra ΔIBM ∽ ΔICN (g.g).

Suy ra $\frac{IB}{IC}=\frac{IM}{IN}$ . Suy ra IB . IN = IC . IM.

Bài 9.10 trang 90 Toán 8 Tập 2: Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25). Hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất.

Lời giải:

Kí hiệu các điểm như hình vẽ trên.

Ta có: AB, EF, CD đôi một song song vì cùng vuông góc với BC (do dựng thẳng đứng).

Do đó ΔCEF ∽ ΔCAB và ΔBEF ∽ ΔBDC.

Suy ra $\frac{EF}{AB}=\frac{CF}{CB}$  và $\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BC}$ .

Do đó:$\frac{EF}{CD}+\frac{EF}{AB}=$$\frac{BF}{BC}+\frac{CF}{CB}=\frac{BF+CF}{BC}=\frac{BC}{BC}$ .

Suy ra $\frac{EF\left(AB+CD\right)}{CD\cdot BA}=1$ .

Vậy $h=EF=\frac{CD\cdot AB}{AB+CD}=\frac{2\cdot 3}{3+2}=\frac{6}{5}=\mathrm{1,2}$  (m).