Với lời giải Toán 11 trang 74 Tập 2 chi tiết trong Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4 trang 74 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD = a, A′C = 2a.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AA′.

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABD có: AB = AD = BD = a nên ΔABD đều

$\text{⇒}\widehat{\mathrm{BAD}}=60°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABC}}=180°-\widehat{\mathrm{BAD}}=120°$

Xét tam giác ABC có: $\mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2.\mathrm{AB}.\mathrm{BC}.\cos \widehat{\mathrm{BAC}}}=a\sqrt{3}$

AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ AC ⇒ ΔAA′C vuông tại A.

$\Rightarrow {\mathrm{AA}}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2-{\mathrm{AC}}^2}=a$

Vậy độ dài đoạn thẳng AA′ là: ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}=a$

b) Ta có:

• $S_{\mathrm{ABCD}}=S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AC}.\sin \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ ;

• $S_{{\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=S_{{\mathrm{CDD}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AA}\text{'}=a^2$ ;

• $S_{{\mathrm{ADD}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=S_{{\mathrm{BCC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\mathrm{AD}.{\mathrm{AA}}^{\text{'}}=a^2$.

Tổng diện tích các mặt của hình hộp là:

$S=S_{\mathrm{ABCD}}+S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{ADD}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{BCC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{CDD}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left(4+\sqrt{3}\right)a^2$.

Vậy tổng diện tích các mặt của hình hộp là $\left(4+\sqrt{3}\right)a^2$.

Bài 5 trang 74 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng a. Tính độ dài cạnh bên và đường cao của mỗi mặt bên.

Lời giải:

Gọi OO' là đường nối tâm của hai đáy.

Kẻ B′H ⊥ BD (H BD), B′K ⊥ BC (K ∈ BC).

Ta có:

• $\mathrm{BD}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AD}}^2}=2a\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{BO}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}=a\sqrt{2}$

• $B\text{'}D\text{'}=\sqrt{A\text{'}B{\text{'}}^2+A\text{'}D{\text{'}}^2}=a\sqrt{2}\Rightarrow B\text{'}O\text{'}=\frac{1}{2}B\text{'}D\text{'}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì OO′B′H là hình chữ nhật nên $\mathrm{OH}=B^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{2}}{2};B^{\text{'}}H={\mathrm{OO}}^{\text{'}}=a$.

Do đó $\mathrm{BH}=\mathrm{BO}=\mathrm{OH}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

• ΔBB′H vuông tại H nên ${\mathrm{BB}}^{\text{'}}=\sqrt{B^{\text{'}}{H}^2+{\mathrm{BH}}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ (theo định lí Pythagore).

• BCC′B′ là hình thang cân nên $\mathrm{BK}=\frac{\mathrm{BC}-B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{2}=\frac{a}{2}$.

• ΔBB′K vuông tại K nên ${\mathrm{KB}}^{\text{'}}=\sqrt{B^{\text{'}}{B}^2+{\mathrm{BK}}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ (theo định lí Pythagore).

Bài 6 trang 74 Toán 11 Tập 2: Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 21,6 m và cạnh đáy dài 34 m. Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp.

Lời giải:

Mô hình hoá hình ảnh kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy.

Kẻ SH ⊥ CD (H $\in$ CD)

Ta có: SO = 21,6 m , AD = 34 m

$\mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2}=34\sqrt{2}\left(m\right)\Rightarrow \mathrm{OC}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=17\sqrt{2}\left(m\right)$

ΔSOC vuông tại O $\Rightarrow \mathrm{SC}=\sqrt{{\mathrm{SO}}^2+{\mathrm{OC}}^2}\approx 32,3\left(m\right)$

Do đó độ dài cạnh bên bằng 32,3 m.

Tam giác SCD cân tại S

⇒ SH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác SCD

⇒ H là trung điểm của CD.

Mà O là trung điểm của AD.

⇒ OH là đường trung bình của tam giác ACD

⇒ $\mathrm{OH}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}=17\left(m\right)$

Ta có: SO ⊥ (ABCD) $$SO ⊥ OH

⇒ ΔSOH vuông tại O.

⇒ $\mathrm{SH}=\sqrt{{\mathrm{SO}}^2+{\mathrm{OH}}^2}\approx 27,5\left(m\right)$

$S_{\mathrm{SCD}}=\frac{1}{2}.\mathrm{CD}.\mathrm{SH}\approx 467,5\left(m^2\right)$

Diện tích xung quanh của kim tự tháp là:
$S_{\mathrm{xq}}=4.S_{\mathrm{SCD}}=4.467,5\approx 1870\left(m^2\right)$.

Vậy độ dài cạnh bênlà 32,3 m và diện tích xung quanh của kim tự tháp là 1870 m².