Với lời giải SBT Toán 11 trang 65 Tập 2 chi tiết trong Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm x₀ là f’(x₀). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = f(x) có đạo hàm x₀ là f’(x₀) thì $f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.$

Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng thời gian |t – t₀| được xác định bởi công thức $\frac{Q\left(t\right)-Q\left(t_0\right)}{t-t_0}.$Cường độ tức thời tại thời điểm t₀ là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cường độ tức thời tại thời điểm t₀ là $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{Q\left(t\right)-Q\left(t_0\right)}{t-t_0}.$

Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

A. f(x₀).

B. f’(x₀).

C. x₀.

D. –f’(x₀).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là: f’(x₀).

Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

A. y = f(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

B. y = f’(x₀)(x + x₀) + f(x₀).

C. y = f’(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

D. y = f’(x₀)(x – x₀) – f(x₀).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y = f’(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t₀ là:

A. f’(t₀).

B. f(t₀) – f’(t₀).

C. f(t₀).

D. – f’(t₀).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t₀ là: s’(t₀) = f’(t₀).

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

a) f(x) = x + 2;

b) g(x) = 4x² – 1;

c) $h\left(x\right)=\frac{1}{x-1}.$

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = x + 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x + 2) – (x + 2) = ∆x.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1$

Vậy f'(x) = 1.

b) Hàm số y = g(x) = 4x² – 1.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = g(x + ∆x) – g(x) = 4(x + ∆x)² – 1 – (4x² – 1)

= 4x² + 8x. ∆x + (∆x)² – 1 – 4x² + 1

= 8x.∆x + (∆x)².

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{8x\cdot \Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2}{\Delta x}=8x+\Delta x.$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(8x+\Delta x\right)=8x.$

Vậy g'(x) = 8x.

c) Hàm số $y=h\left(x\right)=\frac{1}{x-1}.$

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: $\Delta y=h\left(x+\Delta x\right)-h\left(x\right)=\frac{1}{x+\Delta x-1}-\frac{1}{x-1}$

$=\frac{x-1-\left(x+\Delta x-1\right)}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-\Delta x}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}$

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}}{\Delta x}=\frac{-1}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}.$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}.$

Vậy $h^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}.$

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2....

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = |x – 2|.

• Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 2.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x – 2) – (x – 2) = ∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=1.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

• Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (2 – x – ∆x) – (2 – x) = –∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{-\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=-1.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-1\right)=-1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

• Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = |2 + ∆x – 2| – |2 – 2| = ∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}$.

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=1.$

$\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{-\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=-1.$

Do đó, không tồn tại $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}f}{\text{Δ}x}$ nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2.

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.