Với giải Bài 7 trang 65 SBT Toán lớp 11 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2....

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = |x – 2|.

• Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 2.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x – 2) – (x – 2) = ∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=1.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

• Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (2 – x – ∆x) – (2 – x) = –∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{-\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=-1.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-1\right)=-1.$

Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

• Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = |2 + ∆x – 2| – |2 – 2| = ∆x.

Suy ra: $\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}$.

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=1.$

$\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{\left|\text{Δ}x\right|}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{-\text{Δ}x}{\text{Δ}x}=-1.$

Do đó, không tồn tại $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}f}{\text{Δ}x}$ nên hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2.

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.