Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 20cm. Khi đó 4.AB = 20cm

⇒ AB = 5cm = AB = CD = DA

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có

AB² + BC² = AC² ⇒ AC² = 5² + 5² ⇔ AC² = 50

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là: 50

Tứ giác MNPQ có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Để hình bình hành MNPQ là hình vuông thì $\{\begin{array}{l}MN\mathrm{\perp }NP\\ MN=NP\end{array}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}AC\mathrm{\perp }BD\\ AC=BD\end{array}$

Vì  MN // AC, NP // BD nên $AC\mathrm{\perp }BD$

Lại có: $MN=\frac{1}{2}AC,NP=\frac{1}{2}BD$ nên AC = BD

Vậy để tứ giác MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

Ta có: AH = BE = CF = DG

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AEH=\mathrm{\Delta }BFE=\mathrm{\Delta }CGF=\mathrm{\Delta }DHG(c.g.c)$

Do đó: EH = FE = GF = HG (1)

Lại có:$\mathrm{\Delta }AEH=\mathrm{\Delta }BFE\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}}=\widehat{AHE}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}}={90}^0\\ \Rightarrow \widehat{FEH}={90}^0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình vuông.

Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Tứ giác AFME có: $\hat{A}=\widehat{AFM}=\widehat{A\mathrm{E}M}={90}^o$ nên AEMF là hình chữ nhật

Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM là phân giác của góc $\widehat{EAF}$

Mà ta lại có: AC là phân giác $\widehat{DAB}$ (do ABCD là hình vuông)

Nên suy ra M $\in$ AC.

Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, CA nên ta có AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA = $\frac{1}{2}$AB = 4 cm

Từ đó: ΔAQM = ΔBMN = ΔCPN = ΔDQP (c – g – c)

Suy ra $S_{QAM}=S_{MNB}=S_{CPN}=S_{DPQ}=\frac{DQ.DP}{2}=\frac{8^2}{8}=8$ 

Lại có S_ABCD = 8² = 64.

Nên S_MNPQ = S_ABCD – S_AMQ – S_MBN – S_CPN – S_DPQ = $8^2-4.\frac{8^2}{8}=\frac{1}{2}{.8}^2=32$

Vậy S_MNPQ = 32 cm².

Ta có: $IK=MN=\frac{1}{2}BD,KM=IN=\frac{1}{2}CE$

Mà  BD = CE nên IK = KM = MN = IN (1)

Lại có: IK // BD, IN //CE

Mặt khác: $BD\mathrm{\perp }CE$

$\Rightarrow IK\mathrm{\perp }IN(2)$

Từ (1) và (2) suy ra IKMN là hình vuông.

Ta có: $\mathrm{\Delta }ACD=\mathrm{\Delta }ABE(c.g.c)$

Suy ra: CD = BE

Lại có: $\widehat{C_1}=\widehat{B_1}$

Mặt khác: $\widehat{B_1}$ phụ với $\widehat{BEC}$ nên $\widehat{C_1}$ phụ với $\widehat{BEC}$

Do đó: $CD\mathrm{\perp }BE$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}MN//CD,MN=\frac{1}{2}CD\\ KI//CD,KI=\frac{1}{2}CD\\ NI//BE,NI=\frac{1}{2}BE\\ MK//BE,MK=\frac{1}{2}BE\end{array}$

Từ đó suy ra MN = NI = KI = MK và $MN\mathrm{\perp }MK$

Do đó tứ giác MNIK là hình vuông.