Với lời giải SBT Toán 11 trang 43 Tập 2 chi tiết trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 1 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{-3x^2}{2}+\frac{2}{x}+\frac{x^3}{3}$;

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9);

c) $y=\frac{x^2-2x}{x^2+x+1}$;

d) $y=\frac{1-2x}{x+1}$;

e) y = xe^{2x + 1};

g) y = (2x + 3)3^{2x + 1};

h) y = xln²x;

i) $y={\log }_2\left(x^2+1\right)$.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{\left(-3\right)\mathrm{.2.}x}{2}+\frac{2.(-1)}{x^2}+\frac{3x^2}{3}=-3x-\frac{2}{x^2}+x^2$.

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9)

= (x⁴ – 5x² + 4)(x² + 9)

= x⁶ – 5x⁴ + 4x² + 9x⁴ – 45x² + 36

= x⁶ + 4x⁴ – 41x² + 36.

y' = 6x⁵ + 16x³ – 82x

c) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2-2x\right)}^{\text{'}}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2-2x\right){\left(x^2+x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x-2\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2-2x\right)\left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x^3-2\right)-\left(2x^3-3x^2-2x\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=\frac{3x^2+2x-x}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$.

d) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}\left(x+1\right)-\left(1-2x\right){\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(-2\right)\left(x+1\right)-\left(1-2x\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=-\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}.$

e) $y\text{'}=x\text{'}{e}^{2x+1}+x\left(e^{2x+1}\right)\text{'}=e^{2x+1}+x.{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}.e^{2x+1}$

$=e^{2x+1}+x\mathrm{.2.}{e}^{2x+1}=\left(2x+1\right)e^{2x+1}$.

g) $y^{\text{'}}=\left(2x+3\right)3^{2x+1}={\left(2x+3\right)}^{\text{'}}{3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\left(3^{2x+1}\right)}^{\text{'}}$

$={2.3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\left(2x+1\right)}^{\text{'}}{3}^{2x+1}.\ln 3$

$={2.3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\mathrm{.2.3}}^{2x+1}.\ln 3$

h) $y^{\text{'}}=x^{\text{'}}l{n}^{2}x+x{\left(l{n}^{2}x\right)}^{\text{'}}={\ln }^{2}x+x.2\ln x.\frac{1}{x}$

$={\ln }^{2}x+2\ln x$.

i) $y\text{'}={\log }_2\left(x^2+1\right)=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2+1\right)\ln 2}=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2+1\right)\ln 2}=\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\ln 2}$.

Bài 2 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=3x^3-4\sqrt{x}$. Tính $f\left(4\right);f^{\text{'}}\left(4\right);f\left(a^2\right);f^{\text{'}}\left(a^2\right)$ (a là hằng số khác 0).

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3.3x^2-\frac{4}{2\sqrt{x}}=9x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}$.

• $f\left(4\right)={3.4}^3-4\sqrt{4}=184$.

• $f^{\text{'}}\left(4\right)={9.4}^2-\frac{2}{\sqrt{4}}=143$.

Vậy 

Bài 3 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (1 + x²)²⁰;

b) $y=\frac{2+x}{\sqrt{1-x}}$.

Lời giải:

a) $y\text{'}=20{\left(1+x^2\right)}^{19}.{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}=20{\left(1+x^2\right)}^{19}.2x=40x{\left(1+x^2\right)}^{19}$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2+x\right)}^{\text{'}}\sqrt{1-x}-\left(2+x\right){\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\left(2+x\right)\frac{{\left(1-x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1-x}}}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\left(2+x\right)\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)}{\left(1-x\right)}$

$=\frac{2\left(1-x\right)+\left(2+x\right)}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}=\frac{4-x}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}$.

Bài 4 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x}{\sin x-\cos x}$;

b) $y=\frac{\sin x}{x}$;

c) $y=\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x$;

d) y = cos (2sinx).

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{x^{\text{'}}\left(\sin x-\cos x\right)-x{\left(\sin x-\cos x\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$

$=\frac{\left(\sin x-\cos x\right)-x\left(\cos x+\sin x\right)}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}x-\sin x.x^{\text{'}}}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

c) $y^{\text{'}}=\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x=\cos x-\frac{1}{3}\mathrm{.3.}{\sin }^{2}x.{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}$

$=\cos x-{\sin }^{2}x.\cos x=\cos x\left(1-{\sin }^{2}x\right)$

$=\cos x.{\cos }^{2}x={\cos }^{3}x$.

d) $y^{\text{'}}=-\sin \left(2sinx\right).{\left(2\sin x\right)}^{\text{'}}=-\sin \left(2\sin x\right).2\cos x$

$=-2\sin \left(2\sin x\right)\cos x$

Bài 5 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

a) y = xsin 2x;

b) y = cos²x;

c) y = x⁴ – 3x³ + x² − 1.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=x^{\text{'}}\sin 2x+x{\left(\sin 2x\right)}^{\text{'}}=\sin 2x+x\cos 2x.2$

$=\sin 2x+2x\cos 2x$.

$y^{\text{'}\text{'}}=\cos 2x+{\left(2x\right)}^{\text{'}}\cos 2x+2x{\left(\cos 2x\right)}^{\text{'}}$

$=2\cos 2x+2\cos 2x+2x\left(-\sin 2x\right).2$

$=4\cos 2x-4x\sin 2x$

b) $y^{\text{'}}=2\cos x.\left(-\sin x\right)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

$y^{\text{'}\text{'}}=-\cos 2x.2=-2\cos 2x$.

c) $y^{\text{'}}=4x^3–3.3x^2+2x=4x^3–9x^2+2x$.

$y^{\text{'}\text{'}}=4.3x^2-9.2x+2=12x^2-18x+2$.

Bài 6 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s = 100 + 2t – t² trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s.

Lời giải:

Ta có $s^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+2$, suy ra ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=-2$.

a) Vận tốc chất điểm bằng 0 khi $s^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+2=0$ hay t = 1

Vậy vận tốc chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3s, ta có:

• $s^{\text{'}}\left(3\right)=\left(-2\right).3+2=-4$ (m/s);

• $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=-2$ (m/s²).

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của chất điểm là −4 m/s; gia tốc của chất điểm là −2 m/s².