Với lời giải SBT Toán 11 trang 66 Tập 2 chi tiết trong Bài tập cuối chương 9 sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 9

Bài 9.44 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = với m là tham số. Tìm m để hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ.

Lời giải:

+) Với x < 0 thì f(x) = x² – x. Có f'(x) = 2x – 1.

+) Với x > 0 thì f(x) = −x³ + mx. Có f'(x) = −3x² + m.

Hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ khi và chỉ khi tồn tại f'(0).

Ta đi tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.

Có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-x^3+mx}{x}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(-x^2+m\right)=m$.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$$=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2-x}{x}$$=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x-1\right)=-1$.

Do vậy hàm số có đạo hàm tại mọi x $\in$ ℝ khi và chỉ khi m = −1.

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Bài 9.45 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + 3x + 1 (a $\in$ ℝ là tham số). Tìm a để f'(x) > 0 với mọi x $\in$ ℝ.

Lời giải:

Có f'(x) = (x³ + ax² + 3x + 1)' = 3x² + 2ax + 3.

Để f'(x) > 0 với mọi x $\in$ ℝ thì 3x² + 2ax + 3 > 0 với mọi x $\in$ ℝ, điều này xảy ra khi và chỉ khi $∆$' = a² – 9 < 0 $\iff$ −3 < a < 3.

Vậy −3 < a < 3 là giá trị cần tìm.

Bài 9.46 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2x – 1 có đồ thị là đường cong (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M song song với đường thẳng có phương trình y = 2x – 1.

Lời giải:

Giả sử $M\left(x_0;x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\right)$ là điểm thuộc đồ thị (C).

Vì tiếp tuyến tại điểm M song song với đường thẳng có phương trình y = 2x – 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(x₀) = 2.

Có y'(x₀) = $3x_0^2-6x_0+2$.

Vì y'(x₀) = 2 nên $3x_0^2-6x_0+2=2$ $\iff 3x_0^2-6x_0=0$ $\iff$x₀ = 0 hoặc x₀ = 2.

+ Với x₀ = 0 thì M(0; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2x − 1 trùng với đường thẳng đề cho nên M(0; −1) không thỏa mãn.

+ Với x₀ = 2 thì M(2; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2(x – 2) – 1 hay y = 2x – 5.

Vậy M(2; −1) là điểm cần tìm.

Bài 9.47 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x² – 1)² – 3 tại các giao điểm của nó với đồ thị hàm số y = 10 – x².

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x² – 1)² – 3 và đồ thị hàm số y = 10 – x² là nghiệm của phương trình: (x² – 1)² – 3 = 10 – x²

$\iff$ x⁴ – 2x² + 1 – 3 = 10 – x²

$\iff$ x⁴ – x² – 12 = 0

$\iff$ (x² + 3)(x² – 4) = 0

$\iff$ x² – 4 = 0 (do x² + 3 > 0 với mọi x)

$\iff$ x = 2 hoặc x = −2.

Với x = 2, ta có tọa độ giao điểm A(2; 6).

Với x = −2, ta có tọa độ giao điểm B(−2; 6).

Có y' = [(x² – 1)² – 3]' = 2(x² – 1)(x² – 1)' = 4x(x² – 1).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(2) = 4×2×(2² – 1) = 24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6) là:

y = 24(x – 2) + 6 hay y = 24x – 42.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(−2) = 4×(−2)×[(−2)² – 1] = −24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6) là:

y = −24(x + 2) + 6 hay y = −24x – 42.

Vậy y = 24x – 42 và y = −24x – 42 là hai tiếp tuyến cần tìm.

Bài 9.48 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Một vật gắn trên lò xo chuyển động theo phương ngang trên một mặt phẳng nhẵn (H.9.1). Phương trình chuyển động của vật được cho bởi $x=8\sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$, với t tính bằng giây và x tính bằng centimét. Tìm vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Vật chuyển động theo hướng nào tại thời điểm đó?

Lời giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm t là

v(t) = x'(t) =

$=8.{\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}cos\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

$=8\sqrt{2}\pi cos\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

Gia tốc của vật tại thời điểm t là

a(t) = v'(t) =

$=-8\sqrt{2}\pi \sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right).{\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}$

$=-16{\pi }^2\sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$.

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

$v\left(5\right)=8\sqrt{2}\pi cos\left(5\sqrt{2}\pi +\frac{\pi }{3}\right)\approx -10,5$ m/s.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

$a\left(5\right)=-16{\pi }^2\sin \left(5\sqrt{2}\pi +\frac{\pi }{3}\right)\approx 150,8$ m/s².

Tại thời điểm đó vật đang chuyển động theo hướng từ phải sang trái (hướng tới vách chắn cố định).

Giải SBT Toán lớp 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 1 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. sinx - cosx = $\sqrt{2}$sin$\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

B. sinx + cosx = $\sqrt{2}$sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

C. sinx + cosx = $\sqrt{2}$cos$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

D. cosx - sinx = $\sqrt{2}$cos$\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

sinx + cosx = $\sqrt{2}$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos x\right)$ = $\sqrt{2}$$\left(\cos x\cdot cos\frac{\pi }{4}+\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{4}\right)$

= $\sqrt{2}$cos$\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$. Vậy khẳng định C sai.

Bài 2 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số y = cos$\frac{2x}{3}$ là hàm số tuần hoàn với chu kì

A. 2π.

B. π.

C. $\frac{3\pi }{2}$.

D. 3π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = cos$\frac{2x}{3}$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{\frac{2}{3}}=3\pi$ .