Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học

1.7 K

Với giải Bài 5 trang 39 Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Nhị thức Newton giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 2: Nhị thức Newton

Bài 5 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = C10a1+C11b1.

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

(a+b)k+1=Ck+10+Ck+11a(k+1)-1b+...+Ck+1k-1ab(k+1)+Ck+1k+1bk+1.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

(a+b)k=Ck0ak+Ck1ak-1b+...+Ckk-1abk-1+Ckkbk.

Khi đó:

(a+b)k+1=(a+b)(a+b)k

=a(a+b)k+b(a+b)k

=a(Ck0ak+Ck1ak-1b++Ckk-1abk-1+Ckkbk)

+b(Ck0ak+Ck1ak-1b++Ckk-1abk-1+Ckkbk)

=(Ck0ak+1+Ck1akb+Ck2ak-1b2++Ckk-1a2bk-1+Ckkabk)

+(Ck0akb+Ck1ak-1b2++Ckk-2a2bk-1+Ckk-1abk+Ckkbk+1)

=Ck0ak+1+(Ck0+Ck1)akb+(Ck1+Ck2)ak-1b2+

+(Ckk-2+Ckk-1)a2bk-1+(Ckk-1+Ckk)abk+Ckkbk+1

=1.ak+1+Ck+11akb+Ck+12ak-1b2++Ck+1k-1a2bk-1+Ck+1kabk+1.bk+1

(vì Cki+Cki+1=Ck+1i+10ik, i ∈ ℕ, k ∈ ℕ*)

=Ck+10ak+1+Ck+11a(k+1)-1b++Ck+1(k+1)-1ab(k+1)-1+Ck+1k+1bk+1.

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Khám phá 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1)

Thực hành 1 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Hãy khai triển:

Khám phá 2 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Từ các công thức khai triển:

Thực hành 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:

Thực hành 3 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Xác định hệ số của x2 trong khai triển (3x + 2)9

Thực hành 4 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng trong khai triển (x + a)6 với a là một số thực, hệ số của x4 là 60. Tìm giá trị của a.

Thực hành 5 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi n∈ ℕ*, ta có

Vận dụng trang 38 Chuyên đề Toán 10: Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)?

Bài 1 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức:

Bài 2 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x10 trong khai triển của biểu thức (2 – x)12

Bài 3 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)6, hệ số của x4 gấp bốn lần hệ số của x2. Tìm giá trị của a

Bài 4 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng hệ số của x2 trong khai triển của (1 + 3x)n là 90. Tìm giá trị của n.

Bài 6 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng (3x – 1)7 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a7x7.

Bài 7 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Bài 8 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một,

Đánh giá

0

0 đánh giá