Với giải Bài 5 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 5 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy ra BC = 5.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (do AD là đường phân giác của góc BAC)

Suy ra $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}-\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ hay $\frac{\mathrm{DB}}{5-\mathrm{DB}}=\frac{3}{4}$

Do đó 4DB = 3(5 – DB)

          4DB = 15 – 3DB

          4DB + 3DB = 15

          7DB = 15

          $\mathrm{DB}=\frac{15}{7}$

Khi đó $\mathrm{DC}=\mathrm{BC}-\mathrm{DB}=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy $\mathrm{BC}=5;\mathrm{DB}=\frac{15}{7};\mathrm{DC}=\frac{20}{7}.$

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ quả của định lí Thalès trong tam giác ABC với DH // AB, ta có:

$\frac{\mathrm{DH}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CB}}$ hay $\frac{\mathrm{DH}}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

Suy ra $\mathrm{DH}=\frac{3\cdot \frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là $\mathrm{DH}=\frac{12}{7}.$

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, ta có: $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Hay $\frac{\mathrm{AH}}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5},$ suy ra $\mathrm{AH}=\frac{4\cdot \frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

Suy ra ${\mathrm{AD}}^2={\left(\frac{12}{7}\right)}^2+{\left(\frac{12}{7}\right)}^2=\frac{288}{49}$

Do đó $\mathrm{AD}=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144\cdot 2}{49}}=\sqrt{{\left(\frac{12\sqrt{2}}{7}\right)}^2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Vậy độ dài đường phân giác AD là $\frac{12\sqrt{2}}{7}.$