Với lời giải SBT Toán 11 trang 76 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 19 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ .

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$;

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

Bài 20 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2+3x+1\right)$ ;                       b) $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-4x+1}{x^2-x+3}$ ;

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{3x^2+5x+4}$ ;                          d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{4}{x}}{2x^2+3}$ ;

e) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-3}{x-2}$ ;                                    g) $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{5}{x+2}$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2+3x+1\right)$ $=\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2\right)+\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x\right)+\underset{x\to -1}{\lim }1$  = – 4 – 3 + 1 = – 6.            

b) $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-4x+1}{x^2-x+3}$ $=\frac{\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x+1\right)}{\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-x+3\right)}$$=\frac{\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x\right)+\underset{x\to -1}{\lim }1}{\underset{x\to -1}{\lim }{x}^2-\underset{x\to -1}{\lim }x+\underset{x\to -1}{\lim }3}=\frac{4+1}{1-\left(-1\right)+3}=\frac{5}{5}=1$ .

c) Vì $\underset{x\to 2}{\lim }\left(3x^2+5x+4\right)$ $=\underset{x\to 2}{\lim }\left(3x^2\right)+\underset{x\to 2}{\lim }\left(5x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }4=$ ${3.2}^2+5.2+4=26$ .

Do đó, $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{3x^2+5x+4}$ $=\sqrt{26}$.                

d) Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-3+\frac{4}{x}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-3\right)+\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x}=-3+0=-3$

và  .

Do đó, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{4}{x}}{2x^2+3}=0$ .

e) Vì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(-3\right)=-3<0$ ; $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=0$  và x – 2 > 0 với mọi x > 2.

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-3}{x-2}=-\infty$ .                              

g) Vì $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }5=5>0$ ; $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(x+2\right)=0$  và x + 2 > 0 với mọi x > – 2.

Do đó, $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{5}{x+2}=+\infty$ .

Bài 21 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5x+2}{3x+1}$ ;                                 b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x+3}{3x^2+2x+5}$ ;

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+3}}{x+1}$ ;                               d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+3}}{x+1}$ ;

e) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-8x+6}{x^2-1}$ ;                               g) $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{-x^2+2x+15}{x^2+4x+3}$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5x+2}{3x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5+\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{-5}{3}$ .                      

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x+3}{3x^2+2x+5}$ $=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{-2}{x}+\frac{3}{x^2}}{3+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}=\frac{0}{3}=0$ .

c)  

d)  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(-x\right).\sqrt{9+\frac{3}{x^2}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{9+\frac{3}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{-\sqrt{9}}{1}=-3$.         

e) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-8x+6}{x^2-1}$ $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-6\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-6}{x+1}=-2$.                          

g) $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{-x^2+2x+15}{x^2+4x+3}$ $=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{\left(5-x\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{5-x}{x+1}=-4$.

Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-4}{x-1}=2$ . Tính:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }3f\left(x\right)$ .

Lời giải:

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-4}{x-1}=2$.

b) Ta có $\underset{x\to 1}{\lim }3f\left(x\right)$ $=\underset{x\to 1}{\lim }3.\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=3.4=12$ .

Bài 23 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) thoả mãn $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2022$ . Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}$ .   

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}$ $=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x}\right)}$

$=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}}=\frac{2022}{1+0}=2022$.

Vậy $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}=2022$ .

Bài 24 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ . Chứng minh rằng:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}=\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Ta có  $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}$$=\underset{x\to a}{\lim }\frac{1-\frac{3}{f\left(x\right)}}{2+\frac{1}{f\left(x\right)}}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }\left(1-\frac{3}{f\left(x\right)}\right)}{\underset{x\to a}{\lim }\left(2+\frac{1}{f\left(x\right)}\right)}$

                              $=\frac{\underset{x\to a}{\lim }1-\underset{x\to a}{\lim }\frac{3}{f\left(x\right)}}{\underset{x\to a}{\lim }2+\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)}}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }1-\frac{\underset{x\to a}{\lim }3}{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}}{\underset{x\to a}{\lim }2+\frac{\underset{x\to a}{\lim }1}{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}}$ $=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}$ .

Vậy $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}=\frac{1}{2}$ .

Bài 25 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t² – t³ (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t₁, t₂ là $V_{tb}=\frac{g\left(t_2\right)-g\left(t_1\right)}{t_2-t_1}$ . Tính $\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$  và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

Lời giải:

Ta có g(10) = 45 . 10² – 10³.

Khi đó $\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$ $=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{45t^2-t^3-{45.10}^2-{10}^3}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{\left(45t^2-{45.10}^2\right)-\left(t^3-{10}^3\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{45\left(t-10\right)\left(t+10\right)-\left(t-10\right)\left(t^2+10t+100\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{\left(t-10\right)\left(45\left(t+10\right)-\left(t^2+10t+100\right)\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\left(-t^2+35t+350\right)=600$.

Vậy $\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$  = 600.

Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.