Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Hai đường thẳng song song trong không gian

Admin Vietjack Ngày: 25-09-2024 Lớp 11

2.8 K

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Giải SBT Toán 11 trang 99

Bài 10 trang 99 SBT Toán 11: Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi:

A. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung.

C. Hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.

D. Hai đường thẳng cùng chéo nhau với đường thẳng thứ ba.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng hay hai đường thẳng đó không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.

Giải SBT Toán 11 trang 100

Bài 11 trang 99, 100 SBT Toán 11: Cho ba đường thẳng a, b, c. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b.

B. Nếu a và b cùng chéo nhau với c thì a và b chéo nhau.

C. Nếu a song song với b, b và c chéo nhau thì a và c chéo nhau hoặc cắt nhau.

D. Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét từng đáp án:

+ Đáp án A: Vì a, b, c không phân biệt nên a và b có thể trùng nhau, do đó đáp án A sai.

+ Đáp án B: Ví dụ hình chóp S.ABCD có BC và CD cùng chéo nhau với SA nhưng chúng cắt nhau. Do đó đáp án B sai.

Cho ba đường thẳng a, b, c. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b. B. Nếu a và b cùng chéo nhau với c thì a và b chéo nhau. C. Nếu a song song với b, b và c chéo nhau thì a và c chéo nhau hoặc cắt nhau. D. Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau. (ảnh 1)

+ Đáp án D: Ví dụ hình chóp S.ABCD có AB cắt SA, SA cắt SD nhưng AB và SD chéo nhau. Do đó đáp án D sai.

+ Đáp án C: Nếu a song song với b, b và c chéo nhau thì a và c chéo nhau hoặc cắt nhau. Đây là khẳng định đúng.

Thật vậy, giả sử a và c song song hoặc trùng với nhau, do a // b nên b và c song song hoặc trùng nhau (vô lí, trái với giả thiết b và c chéo nhau).

Vậy các đáp án A, B, D sai và đáp án C đúng.

Bài 12 trang 100 SBT Toán 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với MN?

A. AB.

B. AD.

C. BD.

D. AC.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với MN? A. AB. B. AD. C. BD. D. AC. (ảnh 1)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC nên MN là đường trung bình của tam giác SAC. Do đó MN // AC.

Bài 13 trang 100 SBT Toán 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. BD.

B. CD.

C. BC.

D. AB.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây? A. BD. B. CD. C. BC. D. AB. (ảnh 1)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MN // BD.

Hai mặt phẳng (CMN) và (BCD) có C là điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng MN và BD song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua C, song song với MN và BD.

Bài 14 trang 100 SBT Toán 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với NP?

A. MQ.

B. BD.

C. AD.

D. BC.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì M, Q lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MQ là đường trung bình của tam giác SAD, do đó MQ // AD. (1)

Vì N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC nên NP là đường trung bình của tam giác SBC, do đó NP // BC. (2)

Mà ABCD là hình bình hành nên AD // BC. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra MN, NP, AD và BC đôi một song song.

Vậy trong các đáp án đã cho, đường thẳng BD không song song với NP.

Bài 15 trang 100 SBT Toán 11: Quan sát hình căn phòng (Hình 16), hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng a và b; a và c; b và c.

Quan sát hình căn phòng (Hình 16), hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng a và b; a và c; b và c. (ảnh 1)

Lời giải:

Quan sát hình căn phòng (Hình 16), ta thấy:

+ a và b song song với nhau;

+ a và c chéo nhau;

+ b và c cắt nhau.

Bài 16 trang 100 SBT Toán 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và P là một điểm nằm trên CD. Đường thẳng BC cắt mặt phẳng (MNP) tại Q. Chứng minh rằng PQ // BD.

Lời giải:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và P là một điểm nằm trên CD. Đường thẳng BC cắt mặt phẳng (MNP) tại Q. Chứng minh rằng PQ // BD. (ảnh 1)

Ta có: BD = (ABD) ∩ (BCD).

Lại có M ∈ AB ⊂ (ABD), N ∈ AD ⊂ (ABD) nên MN ⊂ (ABD).

Mà MN ⊂ (MNP) nên MN = (ABD) ∩ (MNP).

Vì BC cắt mặt phẳng (MNP) tại Q nên PQ là giao tuyến của (MNP) và (BCD).

Khi đó, ba mặt phẳng (ABD), (BCD), (MNP) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến BD, PQ, MN.

Mà trong tam giác ABD, vì MN là đường trung bình nên MN // BD.

Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta có PQ // BD.

Bài 17 trang 100 SBT Toán 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD; M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh rằng GK // MN.

Lời giải:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD; M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh rằng GK // MN. (ảnh 1)

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD.

Vì G là trọng tâm của tam giác SAB nên $\frac{S G}{S P} = \frac{2}{3}$ .

Vì K là trọng tâm của tam giác SAD nên $\frac{S K}{S Q} = \frac{2}{3}$ .

Khi đó, ta có $\frac{S G}{S P} = \frac{S K}{S Q}$ , suy ra GK // PQ. (1)

Vì PQ là đường trung bình của tam giác ABD nên PQ // BD;

MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // BD.

Suy ra MN // PQ. (2)

Từ (1) và (2) suy ra GK // MN.

Bài 18 trang 100 SBT Toán 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SAD.

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng JL // CD.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SAD. a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành. b) Chứng minh rằng JL // CD. c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD). (ảnh 1)

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AC và MN = $\frac{1}{2}$ AC.

Tương tự ta có QP là đường trung bình của tam giác ACD nên QP // AC và QP = $\frac{1}{2}$ AC.

Suy ra MN // QP và MN = QP. (1)

Lại có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC nên $\frac{S J}{S N} = \frac{S L}{S Q} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra IJ // MN và $\frac{I J}{M N} = \frac{2}{3}$ . (2)

Tương tự, ta có LK // QP và $\frac{L K}{Q P} = \frac{2}{3}$ . (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra IJ // LK và IJ = LK.

Vậy bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

b) Vì J, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác SBC, SAD nên $\frac{S I}{S M} = \frac{S J}{S N} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra JL // NQ.

Trong hình bình hành ABCD ta có NQ // CD (do N và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD).

Do đó, JL // CD.

c) Hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD) có điểm chung là K và lần lượt chứa hai đường thẳng JL và CD song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD) là đường thẳng d đi qua K và song song với CD.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Lý thuyết Hai đường thẳng song song trong không gian

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng a, b phân biệt trong không gian. Khi đó chỉ xảy ra các trường hợp sau:

Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.

(ảnh 1)

Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau.

(ảnh 2)

* Nhận xét: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu //.

II. Tính chất của hai đường thẳng song song

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

(ảnh 3)

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

(ảnh 4)

* Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với 2 đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.