Với lời giải SBT Toán 11 trang 83 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 3 sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3

Bài 40 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số nào sau đây không liên tục trên tập xác định của nó?

A. y = x.

B. $y=\frac{1}{x}$ .

C. y = sin x.

D. 

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

- Các hàm số y = x, y = sin x liên tục trên ℝ.

- Hàm số $y=\frac{1}{x}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó là (–∞; 0) và (0; +∞).

- Xét hàm số   có tập xác định D = ℝ.

Xét tại x = 0, ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{1,}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0$ .

Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ . Vậy hàm số này không liên tục tại x = 0.

Do vậy hàm số   không liên tục trên tập xác định của nó.

Bài 41 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số y = tan x gián đoạn tại bao nhiêu điểm trên khoảng (0; 2π)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = tan x có tập xác định $D=ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Trong khoảng (0; 2π), hàm số y = tan x không xác định tại các điểm $x=\frac{\pi }{2}$ , $x=\frac{3\pi }{2}$ .

Vì hàm số y = tan x liên tục trên từng khoảng xác định của nó nên trong khoảng (0; 2π), hàm số này không liên tục tại hai điểm $x=\frac{\pi }{2}$ , $x=\frac{3\pi }{2}$ .

Bài 42 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n-4}{5}$ ;                                   b) $\lim \frac{1+\frac{1}{2n}}{2n}$ ;

c) $\lim \left(2+\frac{7}{4^n}\right)$ ;                                 d) $\lim \frac{-4n^2-3}{2n^2-n+5}$ ;

e) $\lim \frac{\sqrt{9n^2+2n+1}}{n-5}$ ;                        g) $\lim \frac{3^n+{4.9}^n}{{3.4}^n+9^n}$ .

Lời giải:

a) Vì lim(2n – 4) = +∞ và lim5 = 5 > 0 nên $\lim \frac{2n-4}{5}=+\infty$ .                              

b) $\lim \frac{1+\frac{1}{2n}}{2n}$ $=\lim \frac{n\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}\right)}{2n}$ $=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}}{2}=\frac{\lim \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}\right)}{\lim 2}=\frac{0}{2}=0$   .

c)

$=\lim 2+\lim 7.\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=2+7.0=2$.          

d) $\lim \frac{-4n^2-3}{2n^2-n+5}$ $=\lim \frac{n^2\left(-4-\frac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}\right)}$ $=\lim \frac{-4-\frac{3}{n^2}}{2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}}$ 

$=\frac{\lim \left(-4-\frac{3}{n^2}\right)}{\lim \left(2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}\right)}$ $=\frac{-4}{2}=-2$.

e) $\lim \frac{\sqrt{9n^2+2n+1}}{n-5}$ $=\lim \frac{\sqrt{n^2\left(9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}}{n-5}$ $=\lim \frac{n\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}{n\left(1-\frac{5}{n}\right)}$

$=\lim \frac{\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}{1-\frac{5}{n}}=\frac{\lim \sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}{\lim \left(1-\frac{5}{n}\right)}=\frac{\sqrt{9}}{1}=3$.                        

Bài 43 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác T₁ có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T₂ đồng dạng với tam giác T₁, tam giác T₃ đồng dạng với tam giác T₂, ..., tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}\left(k>1\right)$ . Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k.

Lời giải:

Gọi diện tích các tam giác T₁; T₂; ...; T_{­n – 1}; T_n lần lượt là S₁; S₂; ...; S_{n – 1}; S_n.

Vì tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$  nên diện tích tam giác T_n bằng $\frac{1}{k^2}$  diện tích tam giác T_{n – 1} hay $S_n=\frac{1}{k^2}{S}_{n-1}$ .

Vì k > 1 nên $\frac{1}{k^2}<1$ . Vậy S₁; S₂; ...; S_{n – 1}; S_n; ... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu S₁ = 1 và công bội $q=\frac{1}{k^2}$ .

Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu n tiến tới vô cùng là:

S = S₁ + S₂ + ... + S_{n – 1} + S_n + ... = $\frac{1}{1-\frac{1}{k^2}}=\frac{k^2}{k^2-1}$ .

Bài 44 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{4}{3x}}{x^2-1}$ ;                         b) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}$ ;                            c) $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{-5+x}{x+3}$ ;

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{14x+2}{-7x+1}$ ;                        e) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x^2}{3x+5}$ ;                          g) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+2}$ ;

h) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x^2-1}$ ;                            i) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x-2}$ ;                     k) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-x^2+4x-3}{x^2+3x-18}$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{4}{3x}}{x^2-1}$ $=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x^2}+\frac{4}{3x^3}}{1-\frac{1}{x^2}}$ $=\frac{\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{2}{x^2}+\frac{4}{3x^3}\right)}{\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{0}{1}=0$  .

b) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\infty$ .                            

c) Vì $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(-5+x\right)=-8<0$ ; $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=0$  và x + 3 > 0 với mọi x > – 3.

Do đó, $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{-5+x}{x+3}=-\infty$.

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{14x+2}{-7x+1}$ $=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{14+\frac{2}{x}}{-7+\frac{1}{x}}=\frac{14}{-7}=-2$ .                         

e) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x^2}{3x+5}$ $=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2}{\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}=-\infty$ .                        

g) 

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{2}{x}}=\frac{-\sqrt{4}}{1}=-2$.

h) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x^2-1}$ $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}$ .             

i) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x-2}$ $=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x-3\right)=-1$ .           

k) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-x^2+4x-3}{x^2+3x-18}$$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}{\left(x+6\right)\left(x-3\right)}$ $=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-\left(x-1\right)}{x+6}=\frac{-2}{9}$ .

Bài 45 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số  . Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ. ....

Lời giải:

Với x ≠ 2 thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x-2}$  liên tục trên hai khoảng (–∞; 2) và (2; +∞). 

Ta có: f(2) = a; $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+2\right)=4$ .

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 2.

Khi đó $f\left(2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$  hay a = 4.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ khi a = 4.