Với lời giải SBT Toán 11 trang 51 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Cấp số cộng sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Bài 26 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho (u_n) là cấp số cộng có u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁ = 234.

a) Tính u₂ + u₈ + u₁₄ + u₂₀.

b) Tìm u₁, d, biết u₁₀ = 37.  

Lời giải:

a) Ta có: u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁

= u₁ + (u₁ + 4d) + (u₁ + 8d) + (u₁ + 12d) + (u₁ + 16d) + (u₁ + 20d)

= 6u₁ + 60d

Mà u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁ = 234 nên 6u₁ + 60d = 234 ⇔ u₁ + 10d = 39.

Lại có u₂ + u₈ + u₁₄ + u₂₀ = (u₁ + d) + (u₁ + 7d) + (u₁ + 13d) + (u₁ + 19d)

= 4u₁ + 40d = 4(u₁ + 10d) = 4 . 39 = 156. 

Vậy u₂ + u₈ + u₁₄ + u₂₀ = 156.

b) Ta có u₁ + 10d = (u₁ + 9d) + d = u₁₀ + d = 39.

Mà u₁₀ = 37 nên suy ra d = 39 – u₁₀ = 39 – 37 = 2.

Do đó, u₁ = 39 – 10d = 39 – 10 . 2 = 19.

Vậy u₁ = 19 và d = 2.

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = – 2, $u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$  với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

c) Tính tổng $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{20}}$ .

Lời giải:

a) Ta có $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}=1+\frac{1}{u_n}$ , $v_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n+1}}=1+\frac{1}{\frac{u_n}{1-u_n}}=1+\frac{1-u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}$ .

Khi đó, $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_n}-\left(1+\frac{1}{u_n}\right)=-1$  không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $v_1=1+\frac{1}{u_1}=1+\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$  và công sai d = – 1.

b) Ta có $v_n=v_1+\left(n-1\right)d=\frac{1}{2}+\left(n-1\right).\left(-1\right)=\frac{1}{2}-n+1=\frac{3}{2}-n$ .

Vì $v_n=1+\frac{1}{u_n}$  nên $1+\frac{1}{u_n}=\frac{3}{2}-n$ $\iff \frac{1}{u_n}=\frac{1}{2}-n$ $\iff u_n=\frac{2}{1-2n}$ .

Vậy $v_n=\frac{3}{2}-n$  và $u_n=\frac{2}{1-2n}$ .

c) Từ $v_n=1+\frac{1}{u_n}$ , suy ra $\frac{1}{u_n}=v_n-1$ .

Khi đó ta có $S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{20}}$

          = (v₁ – 1) + (v₂ – 1) + (v₃ – 1) + ... + (v₂₀ – 1)

          = (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀) – 20.

Mà v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (v_n) nên

v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ =  .

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Bài 28 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?

Lời giải:

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = $\frac{\left(1+12\right).12}{2}+11$  = 89 (tiếng chuông).

Bài 29 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ..., lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp.

Lời giải:

Tổng số khúc gỗ được xếp là:

15 + 16 + ... + 21 = $\frac{\left(15+21\right).7}{2}$  = 126 (khúc gỗ).