Với lời giải SBT Toán 11 trang 95 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 3 trang 91 sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 9 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-3}$.

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right).$

Lời giải:

a) Ta có: x ‒ 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

f(x) là hàm phân thức có tập xác định D = ℝ ∖ {3} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 3) và (3; +∞).

b) Ta có:

⦁$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2.$

⦁$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2.$

⦁$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}$

Vì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(2x+1\right)=2\cdot 3+1=7;\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{x-3}=+\infty$

Nên $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=+\infty .$

⦁ $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}$

Vì $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(2x+1\right)=2\cdot 3+1=7;\underset{x\to 3-}{\lim }\frac{1}{x-3}=-\infty$

Nên $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=-\infty .$

Bài 10 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x²; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\mathrm{OM}-\mathrm{MH}\right).$

Lời giải:

Ta có $M\left(x;x^2\right);\mathrm{OM}=\sqrt{x^2+x^4};\mathrm{MH}=\left|x^2\right|=x^2$.

Khi đó $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(\mathrm{OM}-\mathrm{MH}\right)=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{x^2+x^4}-x^2\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{\left(\sqrt{x^2+x^4}-x^2\right)\left(\sqrt{x^2+x^4}+x^2\right)}{\sqrt{x^2+x^4}+x^2}=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+x^4}+x^2}$

$=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+1}=\frac{1}{2}.$

Bài 11 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng phương trình x⁵ + 3x² ‒ 1 = 0 trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) đều có ít nhất một nghiệm.

Lời giải:

Xét hàm số f(x) = x⁵ + 3x² ‒ 1. Hàm số này liên tục trên ℝ.

Ta có:

f(‒2) = (‒2)⁵ + 3.(‒2)² ‒ 1 = ‒32 + 12 ‒ 1 = ‒21.

f(‒1) = (‒1)⁵ + 3.(‒1)² ‒ 1 = ‒1 + 3 ‒ 1 = 1.

f(0) = 0⁵ + 3.0² ‒ 1 = ‒1.

f(1) = 1⁵ + 3.1² ‒ 1 = 3.

Do f(‒2).f(‒1) = ‒21 < 0 nên phương trình f(x) có nghiệm thuộc (‒2; ‒1).

Do f(‒1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 0).

Do f(0).f(1) = ‒3 < 0 nên phương trình f(x) = 0có nghiệm thuộc (0; 1).

Vậy trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1)phương trình f(x) = 0 hay x⁵ + 3x² ‒ 1 = 0 đều có ít nhất một nghiệm.

Bài 12 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right),$ rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính S(α) theo $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$.

b) Xét tính liên tục của hàm số y = S(α) trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

c) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right)$ và $\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

Lời giải:

Kí hiệu O là tâm hình tròn.

a) Do tam giác ABC vuông tại C nên AC = ABcosα = 10cosα (m).

Ta có $\widehat{\mathrm{BOC}}=2\widehat{\mathrm{BAC}}=2\alpha$.

Suy ra độ dài cung CB là $l=\mathrm{OB}.\widehat{\mathrm{BOC}}=5.2\alpha =10\alpha \left(\text{m}\right)$.

Quãng đường di chuyển (tính theo m) của người đó là:

$S\left(\alpha \right)=\mathrm{AC}+l=10\text{cos}\alpha +10\alpha =10\left(\alpha +\text{cos}\alpha \right)\left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$

b) Do các hàm số y = α và y = cosα liên tục trên ℝ nên hàm số y = S(α) liên tục trên ℝ

Mà $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\subset ℝ$ nên hàm số y = S(α) liên tục trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right).$

c) Ta có:

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }10\left(\alpha +\text{cos}\alpha \right)=10\cdot \left(0+\text{cos}0\right)=10\cdot \left(0+1\right)=10;$

$\underset{\alpha \to \frac{{\pi }^{+}}{2}}{\text{lim}}S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to \frac{{\pi }^{+}}{2}}{\text{lim}}10\left(\alpha +\text{cos}\alpha \right)$$=10\cdot \left(\frac{\pi }{2}+\text{cos}\frac{\pi }{2}\right)=10\cdot \left(\frac{\pi }{2}+0\right)=5\pi .$