Với lời giải SBT Toán 11 trang 94 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 3 trang 91 sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 4 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho a > b > 0 và $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=1.$ Tìm giá trị của a.

Lời giải:

Ta có $\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=\frac{a+{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}{2+b\cdot {\left(\frac{b}{a}\right)}^n}$ (chia cả tử và mẫu cho aⁿ).

Do đó $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=\lim \frac{a+{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}{2+b{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}=\frac{a+0}{2+b\cdot 0}=\frac{a}{2}$

Theo bài, $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=1,$ suy ra $\frac{a}{2}=1$, do đó a = 2.

Bài 5 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) thoả mãn ${\mathrm{limnu}}_n=\frac{1}{2}.$ Tìm lim(3n – 4)u_n.

Lời giải:

Ta có $\text{lim}{u}_n=\text{lim}\left(\frac{1}{n}\cdot {\mathrm{nu}}_n\right)=\text{lim}\frac{1}{n}\cdot \text{lim}{\mathrm{nu}}_n=0\cdot \frac{1}{2}=0$.

Từ đó:

$\text{lim}\left(3n-4\right)u_n=\text{lim}\left(3{\mathrm{nu}}_n-4u_n\right)$$=3{\mathrm{limnu}}_n-4\text{lim}{u}_n=3\cdot \frac{1}{2}-4\cdot 0=\frac{3}{2}$.

Bài 6 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^2}$).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3^n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac{1}{4^n}$). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Lời giải:

Ta có:

$S=\frac{1}{4}+3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2+3^2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3+\dots +3^n\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{n+1}+\dots$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\dots +\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n+\dots$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{4},$ công bội $q=\frac{3}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 nên $S=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{3}{4}}=1$.

Bài 7 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A₁ của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A₂ của A₁B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A₃ của A₂B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Lời giải:

Thời gian để mũi tên bay từ A đến A₁ là giây, từ A₁ đến A₂ là $\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$ giây, từ A₂ đến A₃ là $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$ giây, …

Tổng thời gian bay của mũi tên là $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{2^n}+\dots \left(*\right)$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội bằng $q=\frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó, tổng này bằng $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$ (giây).

Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.

Lập luận của nhà thông thái không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.

Bài 8 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}& \text{ khi }x\ne -3\\ a& \text{ khi }x=-3.\end{array}\right.$

a) Tìm $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?

Lời giải:

a) Khi $x>-3,f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}=\frac{x^2-9}{x+3}=x-3$.

Khi $x<-3,f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}=\frac{x^2-9}{-\left(x+3\right)}=3-x$.

Từ đó, $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=-6$ và $\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\left(3-x\right)=6$.

Suy ra $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-6-6=-12.$

b) Do $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right),$ nên không tồn tại $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$.

Do đó, hàm số không liên tục tại x = ‒3 với mọi giá trị của a.