Với lời giải SBT Toán 11 trang 93 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 3 trang 91 sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Câu 11 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\mathrm{ax}}{\sqrt{x^2+\mathrm{ax}}+x}=3.$ Giá trị của a là

A. $\frac{3}{4}$

B. 6.

C. $\frac{3}{2}$

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}=3\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2a}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1}=3$

$\iff \frac{2a}{2}=3\iff a=3.$

Câu 12 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}$ bằng

A. +∞.

B. ‒∞.

C. ‒3 .

D. $\frac{7}{4}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(1-3x\right)=1-3\cdot \left(-2\right)=1+6=7;\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1}{x+2}=-\infty$

Nên $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(\left(1-3x\right)\cdot \frac{1}{x+2}\right)=-\infty .$

Câu 13 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}& \text{ khi }x\ne 3\\ a& \text{ khi }x=3\end{array}\right.$ liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng

A. $-\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. ‒2.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}$ là hàm số phân thức có tập xác định D = ℝ∖{3} nên nó liên tục trên khoảng (‒∞; 3) và (3; +∞)

Do đó, để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)$ hay $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(2-\sqrt{x+1}\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}{\left(x-3\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{3-x}{\left(x-3\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{-1}{2+\sqrt{x+1}}=a$

$\iff \frac{-1}{2+\sqrt{3+1}}=a\iff a=\frac{-1}{4}.$

Câu 14 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\mathrm{(x)} =\left\{\begin{array}{l}\tan x khi 0 \le x\le \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ k-cotx khi \frac{\mathrm{\pi }}{4}<x\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\end{array}\right.$ liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$ Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{\pi }{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

− Hàm số y = tanx là hàm lượng giác có tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi }\right\}$ với k ∈ ℤ nên nó liên tục trên các khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi };\frac{\pi }{2}+\left(k+1\right)\pi \right)$

Mà $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)\subset \left(\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi };\frac{\pi }{2}+\left(k+1\right)\pi \right)$ nên hàm số y = tanx liên tục trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

− Hàm số y = k – cotx là hàm lượng giác có tập xác định D = ℝ \ {kπ} với với k ∈ ℤ nên nó liên tục trên các khoảng (kπ; (k + 1)π).

Mà $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\subset \left(\mathrm{k\pi };\left(k+1\right)\pi \right)$ nên hàm số y = k – cotx liên tục trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right).$

− Do đó, để hàm số liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right),\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right).$

⦁ Hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$ khi và chỉ khi $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \tan \frac{\pi }{4}=k-\cot \frac{\pi }{4}=k-\cot \frac{\pi }{4}\iff k-1=1\iff k=2\left(1\right)$

⦁ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\iff \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{tanx}=\tan 0\iff \tan 0=\tan 0$ (luôn đúng)

⦁ $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)\iff \underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\left(k-\text{cot}x\right)$

$=k-\text{cot}\frac{\pi }{2}\iff k-\text{cot}\frac{\pi }{2}=k-\text{cot}\frac{\pi }{2}$ (luôn đúng)

Vậy k = 2.

Câu 15 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng phương trình x³ ‒ 2x ‒3 = 0 chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

A. (‒1; 0).

B. (0; 1).

C. (1; 2).

D. (2; 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x³ ‒ 2x ‒3 liên tục trên ℝ.

f(‒1) = (‒1)³ ‒ 2.(‒1) ‒ 3 = ‒2.

f(0) = 0³ ‒ 2.0 ‒ 3 = ‒ 3.

f(1) = 1³ ‒ 2.1 ‒ 3 = ‒4.

f(2) = 2³ ‒ 2.2 ‒ 3 = 1.

f(3) = 3³ ‒ 2.3 ‒ 3 = 18.

Ta thấy f(1).f(2) < 0 nên hàm số có nghiệm trong các khoảng (1; 2).

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\text{lim}\frac{n\left(2n^2+3\right)}{4n^3+1}$;

b) $\text{lim}\left(\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)\right)$.

Lời giải:

a) $\text{lim}\frac{n\left(2n^2+3\right)}{4n^3+1}=\lim \frac{2n^3+3n}{4n^3+1}=\lim \frac{2+\frac{3}{n^2}}{4+\frac{1}{n^3}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có:

$\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)$

$=\frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}\right)}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

$=\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

Suy ra $\lim \frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}=\lim \frac{4}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$ $=\frac{4}{1+1}=2.$

Bài 2 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho các dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 2, lim(u_n – v_n) = 4. Tìm $\text{lim}\frac{3u_n-v_n}{u_n{v}_n+3}.$

Lời giải:

Ta có lim(u_n – v_n) = 4

Suy ra limu_n – limv_n­ = 4, hay limv_n = limu_n – 4 = 2 – 4 = −2.

Do đó $\text{lim}\frac{3u_n-v_n}{u_n{v}_n+3}=\frac{3\text{lim}{u}_n-\text{lim}{v}_n}{\text{lim}{u}_n\cdot \text{lim}{v}_n+3}=\frac{3\cdot 2-\left(-2\right)}{2\cdot \left(-2\right)+3}=-8.$

Bài 3 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm $\lim \frac{6^n+4^n}{\left(2^n+1\right)\left(3^n+1\right)}$.

Lời giải:

Ta có $\frac{6^n+4^n}{\left(2^n+1\right)\left(3^n+1\right)}=\frac{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\left(1+\frac{1}{3^n}\right)}$ (chia cả tử và mẫu cho 6ⁿ = 2ⁿ.3ⁿ).

Do đó $\text{lim}\frac{6^n+4^n}{\left(2^n+1\right)\left(3^n+1\right)}=\lim \frac{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\left(1+\frac{1}{3^n}\right)}=\frac{1}{1\cdot 1}=1.$