Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn 1, 1/5, 1/5², 1/5³, …, 1/5ⁿ, …

Dãy 1, 1/5, 1/5², 1/5³, ..., 1/5n, ... là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 1/5. Vì |q| = 1/5 < 1 nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn, và tổng của nó là S = u1/(1 − q) = 1 : (4/5) = 5/4.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1, 1/5, 1/5², ...

Trả lời nhanh

Dãy 1, 1/5, 1/5², 1/5³, …, 1/5ⁿ, … là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 1/5. Vì |q| = 1/5 < 1 nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn, và tổng của nó là S = u₁/(1 − q) = 1 : (4/5) = 5/4.

Đề bài và hướng làm

Đề yêu cầu tính tổng: S = 1 + 1/5 + 1/5² + 1/5³ + … + 1/5ⁿ + …

Với dạng này, ta làm ba bước: nhận ra cấp số nhân, kiểm tra điều kiện |q| < 1, rồi áp dụng công thức.

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thoả mãn |q| < 1.
Tổng của nó: S = u₁ + u₂ + … + u_n + … = u₁/(1 − q).
Nếu |q| ≥ 1 thì không dùng công thức này (tổng không hữu hạn, hoặc không tồn tại).

Lời giải chi tiết

Xác định u₁ và q. Số hạng đầu u₁ = 1. Lấy số hạng sau chia số hạng trước: (1/5) : 1 = 1/5, (1/5²) : (1/5) = 1/5. Vậy q = 1/5. Số hạng tổng quát là u_n = 1/5ⁿ⁻¹.
Kiểm tra điều kiện. |q| = 1/5 < 1 nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tính tổng. S = u₁/(1 − q) = 1/(1 − 1/5) = 1/(4/5) = 5/4.

Đáp số: S = 5/4.

Vì sao công thức đúng? Kiểm chứng bằng tổng riêng

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là S_n = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Ở bài này:

S_n = (1 − (1/5)ⁿ)/(4/5) = (5/4)·(1 − 1/5ⁿ).

Khi n tăng, 1/5ⁿ tiến về 0 nên S_n tiến về 5/4. Đó chính là tổng của cả dãy vô hạn.

n	S_n	Giá trị thập phân
1	1	1
2	1 + 1/5 = 6/5	1,2
3	6/5 + 1/25 = 31/25	1,24
4	31/25 + 1/125 = 156/125	1,248

Các tổng riêng 1; 1,2; 1,24; 1,248; … đang dần về 1,25 = 5/4. Bạn có thể dùng cách này để tự kiểm tra kết quả.

Nếu đề thật là dãy đan dấu thì sao?

Trường hợp đề là 1, −1/5, 1/5², −1/5³, … thì q = −1/5. Vẫn có |q| < 1, nên S = 1/(1 + 1/5) = 1/(6/5) = 5/6. Chỉ cần chú ý dấu của q: công bội âm làm tổng nhỏ hơn 1 chứ không lớn hơn 1.

Mẹo nhận biết: để tìm q, luôn lấy số hạng sau chia số hạng trước, đừng đoán theo mẫu số.

Lỗi sai thường gặp

Quên kiểm tra |q| < 1. Dãy 1, 2, 4, 8, … có q = 2 thì không có tổng hữu hạn.
Nhầm u₁. Nếu tổng bắt đầu từ 1/5 (tức 1/5 + 1/5² + …) thì u₁ = 1/5, S = (1/5)/(4/5) = 1/4. Kết quả này kém đúng 1 so với 5/4 vì đã bỏ số hạng đầu, nên rất dễ đối chiếu.
Viết sai mẫu số 1 − q. Với q = 1/5 thì 1 − q = 4/5, không phải 6/5.
Nhầm với công thức tổng hữu hạn. Công thức u₁/(1 − q) chỉ dùng cho tổng vô hạn.

Bài luyện tập có đáp án

Tính S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + …
Đáp án: u₁ = 2, q = 1/2 nên S = 2/(1 − 1/2) = 4.
Tính S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + …
Đáp án: u₁ = 1, q = 1/3 nên S = 1/(2/3) = 3/2.
Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,333… thành phân số.
Đáp án: 0,333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + … Ở đây u₁ = 0,3 và q = 0,1 nên S = 0,3/0,9 = 1/3.

Ghi nhớ: tổng cấp số nhân lùi vô hạn = số hạng đầu / (1 − công bội). Bạn chỉ cần xác định đúng u₁ và q là làm được.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

S = u₁/(1 − q), trong đó u₁ là số hạng đầu và q là công bội với |q| < 1.

Tổng 1 + 1/5 + 1/5² + 1/5³ + ... bằng bao nhiêu?

Bằng 5/4, vì u₁ = 1, q = 1/5 nên S = 1/(1 − 1/5) = 5/4.

Khi nào không dùng được công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn?

Khi |q| ≥ 1. Lúc đó các số hạng không tiến về 0 nên tổng không hữu hạn.

Làm sao đổi số thập phân tuần hoàn thành phân số bằng cấp số nhân lùi vô hạn?

Tách số thành tổng các số hạng lập thành cấp số nhân có công bội 0,1; 0,01... rồi dùng S = u₁/(1 − q). Ví dụ 0,333... = 0,3/(1 − 0,1) = 1/3.