Với lời giải SBT Toán 11 trang 24 Tập 1 chi tiết trong Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.25 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $2\sin \left(\frac{x}{3}+15°\right)+\sqrt{2}=0$ ;

b) $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=-1$ ;

c) 3tan 2x + $\sqrt{3}$  = 0;

d) cot (2x – 3) = cot 15°.

Lời giải:

a) $2\sin \left(\frac{x}{3}+15°\right)+\sqrt{2}=0$

$\iff \sin \left(\frac{x}{3}+15°\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(\frac{x}{3}+15°\right)=\sin \left(-45°\right)$

b) $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=-1$

$\iff 2x+\frac{\pi }{5}=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{2\pi }{5}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) 3tan 2x + $\sqrt{3}$  = 0

$\iff \tan 2x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff \tan 2x=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) cot (2x – 3) = cot 15°

⇔ 2x – 3 = 15° + k180°  (k∈ ℤ)

⇔ 2x = 3 + 15° + k180°  (k∈ ℤ)

⇔ x = 1,5 + 7,5° + k90°  (k∈ ℤ).

Bài 1.26 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0;

b) $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)+\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=0$ ;

c) tan x + cot x = 0;

d) sin x + tan x = 0.

Lời giải:

a) Ta có sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0

⇔ sin(2x + 15°) = – cos(2x – 15°)

⇔ sin(2x + 15°) = – sin[90° – (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin[– 90° + (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin(2x – 105°)

Không xảy ra trường hợp 120° = k360°.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 67,5° + k90° (k ∈ ℤ). 

b)$\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)+\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=0$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\cos \left(\frac{7\pi }{6}-3x\right)$

c) Ta có tan x + cot x = 0

⇔ tan x = – cot x

⇔ tan x = cot(π – x)

$\iff \tan x=\tan \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff x=x-\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \frac{\pi }{2}-k\pi =0\left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Vô lí.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện cos x ≠ 0 .

Ta có sin x + tan x = 0

$\iff \sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0$

$\iff \sin x\left(1+\frac{1}{\cos x}\right)=0$

⇔ sin x = 0  (do sin² x + cos² x = 1)

⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Vì x = kπ (k ∈ ℤ) thoả mãn điều kiện cos x ≠ 0 nên nghiệm của phương trình đã cho là

x = kπ (k ∈ ℤ).

Bài 1.27 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0;

b) 2sin 2x – sin 4x = 0;

c) cos⁶ x – sin⁶ x = 0;

d) tan 2x cot x = 1. 

Lời giải:

a) Ta có (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0

+ Phương trình 2 + cos x = 0 vô nghiệm vì – 1 ≤ cos x ≤ 1.

+ Gọi α là góc thoả mãn cos α = $\frac{1}{3}$ . Ta có

3cos 2x – 1 = 0 ⇔ cos 2x = cos α ⇔ 2x = ± α + k2π (k ∈ ℤ) ⇔ x = $\pm \frac{\alpha }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = $\pm \frac{\alpha }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ) với cos α = $\frac{1}{3}$ .

b) Ta có 2sin 2x – sin 4x = 0

⇔ 2sin 2x – 2sin 2x cos 2x = 0

⇔ 2sin 2x(1 – cos2x) = 0

Do sin² 2x + cos² 2x = 1 nên cos 2x = 1 kéo theo sin 2x = 0, do đó phương trình đã cho tương đương với

sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ (k ∈ ℤ) $\iff x=k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

c) Ta có cos⁶ x – sin⁶ x = 0

⇔ cos⁶ x = sin⁶ x

⇔ (cos² x)³ = (sin² x)³

⇔ cos² x = sin² x

⇔ cos² x – sin² x = 0

⇔ cos 2x = 0

Từ đó ta được 2x = $\frac{\pi }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ) hay $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

d) Điều kiện sin x ≠ 0 và cos 2x ≠ 0.

Ta có tan 2x cot x = 1

$\iff \tan 2x=\frac{1}{\cot x}$

⇔ tan 2x = tan x

⇔ 2x = x + kπ   (k ∈ ℤ)

⇔ x = kπ   (k ∈ ℤ).

Ta thấy x = kπ (k ∈ ℤ) không thoả mãn điều kiện sin x ≠ 0.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 1.28 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:

a) $y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$  và $y=\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ ;

b)  $y=\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$và $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ .

Lời giải:

a) Giá trị tương ứng của hai hàm số $y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$  và $y=\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$  bằng nhau nếu $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

b) Giá trị tương ứng của hai hàm số $y=\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$  và $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$  bằng nhau nếu $\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$

Bài 1.29 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

$y=2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)$

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Lời giải:

a) Vì $-1\le \sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 1$  nên $-\mathrm{2,5}\le \mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le \mathrm{2,5}$  và do đó ta có $2-\mathrm{2,5}\le 2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 2+\mathrm{2,5}$

hay $-\mathrm{0,5}\le 2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le \mathrm{4,5}\forall x\in ℝ$ .

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=1$ $\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{1}{2}+k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Do x ≥ 0 nên $x=\frac{1}{2}+k\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm $\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}\mathrm{,...}$  phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=-1$

$\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Do x ≥ 0 nên $x=k\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi $2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=2$

$\iff \sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=0$

$\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Do x ≥ 0 nên $x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm $x=\frac{1}{4}$  phút.