Với lời giải Toán 11 trang 122 Tập 1 chi tiết trong Bài 17:Hàm số liên tục sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

Bài 5.14 trang 122 Toán 11 Tập 1: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 2 và . Tính g(1).

Lời giải:

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra 

Vì  và f(1) = 2 nên ta có 3 = 2 . 2 – g(1) ⇔ g(1) = 1.

Vậy g(1) = 1.

Bài 5.15 trang 122 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+5x+6}$;

b) 

Lời giải:

a) $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+5x+6}$

Biểu thức $\frac{x}{x^2+5x+6}$ có nghĩa khi x² + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).

Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).

b) 

Tập xác định của hàm số là ℝ.

+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x².

Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.

Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).

+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.

Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.

Vậy nó liên tục trên (1; +∞).

+) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(4-x\right)=4-1=3$;

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(1+x^2\right)=1+1^2=2$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$, do đó không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 1.

Khi đó, hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.

Bài 5.16 trang 122 Toán 11 Tập 1 :Tìm giá trị của tham số m để hàm sốliên tục trên ℝ.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là ℝ.

+) Nếu x > 0, thì f(x) = sin x. Do đó nó liên tục trên (0; +∞).

+) Nếu x < 0, thì f(x) = – x + m, đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; 0).

Khi đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 0) và (0; +∞).

Do đó, để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$$\iff \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$ (1).

Lại có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sin x=0$; f(0) = sin 0 = 0; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x+m\right)=m$ .

Khi đó, (1) ⇔ m = 0.

Vậy m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5.17 trang 122 Toán 11 Tập 1: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Lời giải:

a) Gọi x (km, x > 0) là quãng đường khách di chuyển và y (đồng) là số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển x.

Với x ≤ 0,5, ta có y = 10 000.

Với 0,5 < x ≤ 30, ta có: y = 10 000 + 13 500(x – 0,5) hay y = 13 500x + 3 250.

Với x > 30, ta có: y = 10 000 + 13 500 . 29,5 + 11 000(x – 30) hay y = 11 000x + 78 250.

Vậy công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là

b) +) Với 0 < x < 0,5 thì y = 10 000 là hàm hằng nên nó liên tục trên (0; 0,5).

+) Với 0,5 < x < 30 thì y = 13500x + 3 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,5; 30).

+) Với x > 30 thì y = 11 000x + 78 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (30; +∞).

+) Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 0,5 và x = 30.

- Tại x = 0,5, ta có y(0,5) = 10 000;

$\underset{x\to 0,5^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0,5^{-}}{\lim }10000=10000$;

$\underset{x\to 0,5^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0,5^{+}}{\lim }\left(13500x+3250\right)$= 13 500 . 0,5 + 3 250 = 10 000.

Do đó, $\underset{x\to 0,5^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0,5^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0,5}{\lim }y=y\left(0,5\right)$ nên hàm số liên tục tại x = 0,5.

- Tại x = 30, ta có: y(30) = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;

$\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }\left(13500x+3250\right)$ = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;

$\underset{x\to {30}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {30}^{+}}{\lim }\left(11000x+78250\right)$ = 11 000 . 30 + 78 250 = 408 250.

Do đó, $\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {30}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 30}{\lim }y=y\left(30\right)$ nên hàm số liên tục tại x = 30.

Vậy hàm số ở câu a liên tục trên (0; +∞).