Với lời giải Toán 11 trang 30 Tập 1 chi tiết trong Bài 3: Hàm số lượng giác sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Luyện tập 7 trang 30 Toán 11 Tập 1: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$  để hàm số y = cot x nhận giá trị dương.

Lời giải:

Hàm số y = cot x nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.17 ta suy ra trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$  thì y > 0 khi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ .

Bài tập

Bài 1.14 trang 30 Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ ;

b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$ .

Lời giải:

a) Biểu thức $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$ có nghĩa khi $\left\{\begin{array}{l}\frac{1+\cos x}{2-\cos x}\ge 0\\ 2-\cos x\ne 0\end{array}\right.$.

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ và 2 – cos x ≥ 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, 2 – cos x ≠ 0 với mọi x ∈ ℝ và $\frac{1+\cos x}{2-\cos x}\ge 0$  với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$  là D = ℝ.

Bài 1.15 trang 30 Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin 2x + tan 2x;

b) y = cos x + sin² x;

c) y = sin x cos 2x;

d) y = sin x + cos x.

Lời giải:

a) Biểu thức sin 2x + tan 2x có nghĩa khi cos 2x ≠ 0 (do $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ ), tức là $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra tập xác định của hàm số y = f(x) = sin 2x + tan 2x là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$ .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– 2x) + tan (– 2x) = – sin 2x – tan 2x = – (sin 2x + tan 2x) = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin 2x + tan 2x là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số y = f(x) = cos x + sin² x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) + sin² (– x) = cos x + (– sin x)² = cos x + sin² x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x + sin² x là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x cos 2x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) . cos (– 2x) = – sin x . cos 2x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x + cos x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) + cos (– x) = – sin x + cos x ≠ – f(x).

Vậy y = sin x + cos x là hàm số không chẵn, không lẻ.

Bài 1.16 trang 30 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = $2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1$ ;

b) y = $\sqrt{1+\cos x}-2$.

Lời giải:

a) Ta có: $-1\le \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -2\le 2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\le 2$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -2-1\le 2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1\le 2-1$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -3\le 2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = $2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1$ là [– 3; 1].

b) Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ nên 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, $0\le \sqrt{1+\cos x}\le \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra $-2\le \sqrt{1+\cos x}-2\le \sqrt{2}-2$  với mọi x ∈ ℝ.

Hay $-2\le y\le \sqrt{2}-2$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = $\sqrt{1+\cos x}-2$ là $\left[-2;\sqrt{2}-2\right]$ .

Bài 1.17 trang 30 Toán 11 Tập 1: Từ đồ thị của hàm số y = tan x, hãy tìm các giá trị x sao cho tan x = 0.

Lời giải:

Ta có đồ thị của hàm số y = tan x như hình vẽ dưới đây.

Ta có tan x = 0 khi hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0 ứng với các điểm x mà đồ thị giao với trục hoành. Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra y = 0 hay tan x = 0 khi x = kπ, k ∈ ℤ. 

Bài 1.18 trang 30 Toán 11 Tập 1: Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số h(t) = $90\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$, trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Lời giải:

a) Chu kì của sóng là $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{10}}=20$ (giây).

b) Chiều cao của sóng tức là chiều cao của nước đạt được trong một chu kì dao động.

Ta có: h(20) = $90\cos \left(\frac{\pi }{10}.20\right)$ = 90 (cm).

Vậy chiều cao của sóng là 90 cm.