Trả lời nhanh
Vì D, E, F là trung điểm các cạnh nên DE, EF, DF là các đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra DE // AC và EF // AB, nên tứ giác ADEF là hình bình hành; có thêm góc A = 90° nên ADEF là hình chữ nhật. Hai đường chéo bằng nhau cho AE = DF, và DF là đường trung bình nên AE = DF = BC/2.
Vẽ hình và đọc đề
Em vẽ tam giác ABC vuông tại A, lấy D là trung điểm AB, E là trung điểm BC, F là trung điểm AC rồi nối D, E, F. Hình cho thấy ngay tứ giác ADEF có góc vuông tại A.
Công cụ chính của bài là tính chất đường trung bình: đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Câu a: Chứng minh ADEF là hình chữ nhật
- Tam giác ABC có D là trung điểm AB, E là trung điểm BC nên DE là đường trung bình. Suy ra DE // AC, tức DE // AF, và DE = AC/2.
- Tam giác ABC có E là trung điểm BC, F là trung điểm AC nên EF là đường trung bình. Suy ra EF // AB, tức EF // AD, và EF = AB/2.
- Tứ giác ADEF có AD // EF và AF // DE nên là hình bình hành.
- Hình bình hành ADEF có góc A = 90° nên là hình chữ nhật.
Cách khác: vì DE // AC mà AC ⊥ AB nên DE ⊥ AB, tức góc ADE = 90°. Tương tự góc AFE = 90°. Tứ giác ADEF có ba góc vuông (tại A, D, F) nên là hình chữ nhật.
Câu b: Chứng minh AE = DF và tính theo BC
ADEF là hình chữ nhật nên hai đường chéo AE và DF bằng nhau. Mặt khác DF là đường trung bình của tam giác ABC (D, F lần lượt là trung điểm AB, AC) nên DF = BC/2. Vậy:
AE = DF = BC/2.
Đây cũng là tính chất quen thuộc: trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Câu c: Các hình bình hành khác trong hình
- BDFE: DF // BC nên DF // BE; EF // AB nên EF // BD. Hai cặp cạnh đối song song nên BDFE là hình bình hành.
- CFDE: chứng minh tương tự nhờ DE // CF và DF // CE.
Như vậy ba đường trung bình chia tam giác ABC thành bốn tam giác bằng nhau: tam giác ADF, tam giác BDE, tam giác CEF và tam giác DEF.
Câu d: Tam giác DEF so với tam giác ABC
DE = AC/2, EF = AB/2 và DF = BC/2 nên chu vi tam giác DEF bằng nửa chu vi tam giác ABC, và diện tích tam giác DEF bằng 1/4 diện tích tam giác ABC (vì tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số 1/2). Diện tích hình chữ nhật ADEF bằng một nửa diện tích tam giác ABC.
Ví dụ bằng số
Cho AB = 6 cm, AC = 8 cm. Theo định lí Py-ta-go, BC = √(36 + 64) = 10 cm. Khi đó:
- AD = 3 cm, AF = 4 cm nên ADEF là hình chữ nhật 3 × 4, diện tích 12 cm².
- AE = DF = BC/2 = 5 cm, đúng với độ dài đường chéo √(3² + 4²) = 5 cm.
- Diện tích tam giác ABC là 24 cm², gấp đôi diện tích ADEF.
- Chu vi tam giác DEF là 4 + 3 + 5 = 12 cm, bằng nửa chu vi tam giác ABC (24 cm).
Khi nào ADEF là hình vuông?
Hình chữ nhật ADEF là hình vuông khi AD = AF, tức AB/2 = AC/2, hay AB = AC. Lúc đó tam giác ABC vuông cân tại A.
Lỗi sai thường gặp
- Viết “DE là đường trung bình” mà không nói rõ D, E là trung điểm của những cạnh nào. Bài làm cần nêu đủ hai trung điểm.
- Kết luận hình chữ nhật chỉ vì “có góc vuông”. Em phải chứng minh hình bình hành trước hoặc chỉ ra đủ ba góc vuông.
- Nhầm đường trung bình với đường trung tuyến. Đường trung bình nối hai trung điểm, đường trung tuyến nối đỉnh với trung điểm cạnh đối.
Bài tập luyện tập
- Cho AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính BC, AE, chu vi và diện tích ADEF. Đáp án: BC = 15 cm; AE = 7,5 cm; ADEF có hai cạnh 4,5 cm và 6 cm nên chu vi 21 cm và diện tích 27 cm².
- Tìm điều kiện của tam giác ABC để ADEF là hình vuông. Đáp án: AB = AC.
Câu hỏi thường gặp
Tứ giác ADEF là hình gì?
ADEF là hình chữ nhật, vì có AD // EF, AF // DE (các đường trung bình) nên là hình bình hành và có góc A bằng 90°.
Vì sao AE = DF?
AE và DF là hai đường chéo của hình chữ nhật ADEF nên bằng nhau. Cả hai cùng bằng BC/2.
Tứ giác BDFE là hình gì?
BDFE là hình bình hành vì DF // BE và EF // BD (do DF và EF là đường trung bình của tam giác ABC).
Khi nào ADEF là hình vuông?
Khi AB = AC, tức tam giác ABC vuông cân tại A.