Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy trong các biểu thức đều có phân thức chung. Do đó nên vận dụng tính chất phân phối của phép nhân nhằm đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.

Trình bày lời giải

a) Dùng tính chất phân phối, ta có:

\[\begin{array}{l}P = \frac{{12x + 5}}{{x + 9}}.\left( {\frac{{4x + 3}}{{360x + 150}} + \frac{{6 - 3x}}{{360x + 150}}} \right)\\ = \frac{{12x + 5}}{{x + 9}}.\frac{{x + 9}}{{30\left( {12x + 5} \right)}} = \frac{1}{{30}}\end{array}\]

b) Dùng tính chất phân phối, ta có:

\[\begin{array}{l}P = \frac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\left( {\frac{{4x - 2y}}{{x - y}} - \frac{{x - 3y}}{{x - y}}} \right)\\ = \frac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\frac{{3x + y}}{{x - y}} = \frac{{x + 3y}}{{x - y}}\end{array}\]

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

\[R = \frac{{3{a^2} - 2ab - {b^2}}}{{2{a^2} + ab - {b^2}}}:\frac{{3{a^2} - 4ab + {b^2}}}{{3{a^2} + 2ab - {b^2}}}\]

Giải

\[\begin{array}{l}R = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {3a + b} \right)}}{{\left( {2a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}:\frac{{\left( {a - b} \right)\left( {3a - b} \right)}}{{\left( {3a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {3a + b} \right)}}{{\left( {2a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}.\frac{{\left( {3a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {3a - b} \right)}}\end{array}\]

\[R = \frac{{3a + b}}{{2a - b}}\]

Ví dụ 3: Cho\[x + y + z = 1\]. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến số:

\[P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}}.\frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{zx + y}}\]

Giải

Tìm cách giải. Khai thác điều kiện bài toán, nhận thấy với điều kiện này chúng ta có thể cân bằng bậc ở mẫu và phân tích thành nhân tử được

\[xy + z = xy + z\left( {x + y + z} \right) = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right).\]

 Do vậy chúng ta có lời giải sau:

Trình bày lời giải

Thay \[1 = x + y + z\] vào mẫu số, ta được:

\[\begin{array}{l}xy + z = xy + z\left( {x + y + z} \right)\\ = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\end{array}\]

và tương tự ta có:

\[yz + x = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\]

\[zx + y = \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\]

Từ đó suy ra:

 \[P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}.\frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}\]

\[ \Rightarrow P = 1\]

Ví dụ 4: Cho\[a + b + c = 0\]. Chứng minh rằng tích sau không phụ thuộc vào biến số:

a) \[M = \frac{{4bc - {a^2}}}{{bc + 2{a^2}}}\frac{{4ca - {b^2}}}{{ca + 2{b^2}}}\frac{{4ab - {c^2}}}{{ab + 2{c^2}}}\]

b) \[N = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right).\left( {1 + \frac{b}{c}} \right).\left( {1 + \frac{c}{a}} \right)\]

Giải

a) Ta có:

\[\begin{array}{l}\frac{{4bc - {a^2}}}{{bc + 2{a^2}}} = \frac{{4bc - {{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{bc + {a^2} - a\left( {b + c} \right)}}\\ = \frac{{ - \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)}}{{bc + {a^2} - ab - ac}}\\ = \frac{{ - {{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\,\,(1)\end{array}\] 

Tương tự ta có:

 \[\frac{{4ca - {b^2}}}{{ca + 2{b^2}}} = \frac{{ - {{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\]   (2)

\[\frac{{4ab - {c^2}}}{{ab + 2{c^2}}} = \frac{{ - {{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\]   (3)

Từ (1) và (2), (3) ta có:

\[\begin{array}{l}M = \frac{{4bc - {a^2}}}{{bc + 2{a^2}}}\frac{{4ca - {b^2}}}{{ca + 2{b^2}}}\frac{{4ab - {c^2}}}{{ab + 2{c^2}}}\\ = \frac{{ - {{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {b - c} \right)}^2}{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{ - {{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {b - c} \right)}^2}{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = 1\end{array}\]

Vậy giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Ta có:

\[\begin{array}{l}N = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right).\left( {1 + \frac{b}{c}} \right).\left( {1 + \frac{c}{a}} \right)\\ = \frac{{a + b}}{b}.\frac{{c + b}}{c}.\frac{{a + c}}{a}\\ = \frac{{\left( { - c} \right)\left( { - a} \right)\left( { - b} \right)}}{{abc}} =  - 1\end{array}\]

Vậy giá trị biểu thức N không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Ví dụ 5: Cho x là số thực âm thỏa mãn \[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 23\]. Tính giá trị biểu thức \[A = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}\]

Giải

Tìm cách giải. Do kết luận có dạng hằng đẳng thức\[{a^3} + {b^3}\], nên để tính giá trị biểu thức, chúng ta cần tính được \[x + \frac{1}{x}\]. Với suy nghĩ ấy, chúng ta khai thác điều kiện để tìm \[x + \frac{1}{x}\]. Từ đó chúng ta có lời giải sau:

Trình bày lời giải

Từ giả thiết

 \[\begin{array}{l}{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 23\\ \Rightarrow {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = 23\\ \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = 25\end{array}\]

Vì \[x < 0\] nên \[x + \frac{1}{x} =  - 5\]

Ta có:

 \[\begin{array}{l}A = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}\\ = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\\ = {\left( { - 5} \right)^3} - 3.\left( { - 5} \right) =  - 110\end{array}\].

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức với n là số nguyên dương:     

\[A = \left( {1 + \frac{2}{{1.4}}} \right)\left( {1 + \frac{2}{{2.5}}} \right)\left( {1 + \frac{2}{{3.6}}} \right)...\left( {1 + \frac{2}{{n\left( {n + 3} \right)}}} \right)\]

Giải

Tìm cách giải. Với phép nhân các biểu thức theo quy luật, chúng ta thường xét phân thức có dạng tổng quát. Sau đó phân tích thành nhân tử cả tử và mẫu dạng tổng quát ấy. Cuối cùng thay các giá trị từ 1 đến n vào biểu thức và rút gọn.

Trình bày lời giải

Xét \[1 + \frac{2}{{k\left( {k + 3} \right)}} = \frac{{{k^2} + 3k + 2}}{{k\left( {k + 3} \right)}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{{k\left( {k + 3} \right)}}\]

Thay \[k = 1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;...;n\] ta được:

\[\begin{array}{l}A = \frac{{2.3}}{{1.4}}.\frac{{3.4}}{{2.5}}.\frac{{4.5}}{{3.6}}...\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{n\left( {n + 3} \right)}}\\ = \frac{{2.3.4...\left( {n + 1} \right)}}{{1.2.3...n}}.\frac{{3.4.5...\left( {n + 2} \right)}}{{4.5.6...\left( {n + 3} \right)}}\\ = \frac{{3\left( {n + 1} \right)}}{{n + 3}}\end{array}\]

Ví dụ 7. Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn \[\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0\]. Tính giá trị của biểu thức:

\[\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\]

Giải

Tìm cách giải. Quan sát phần giả thiết và kết luận của bài toán, chúng ta nhận thấy có nhiều điểm giống nhau. Do vậy, để không phức tạp chúng ta vận dụng giả thiết và tạo ra từng hạng tử của phần kết luận. Sau đó cộng lại.

Trình bày lời giải

Ta có: \[\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} = \frac{c}{{b - a}}\\ \Leftrightarrow \frac{{ac - {a^2} + {b^2} - bc}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = \frac{c}{{b - a}}\end{array}\]

\[\frac{{{a^2} - {b^2} + bc - ca}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} = \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\]   (1)

Tương tự:

 \[\frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - {a^2} + ab - bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\]   (2)

\[\frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - {c^2} + ca - ab}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\]    (3)

Cộng từng vế của (1); (2) và (3) 

\[ \Rightarrow \frac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\]

Nhận xét. Từ kết quả ta thấy a. b, c không thể cùng dấu được do vậy bạn có thể giải được bài toàn sau: Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn \[\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}} = 0\]. Chứng minh rằng trong ba số sau a, b, c tồn tại một số không âm và một số không dương.

III. Bài tập vận dụng

1.1. Rút gọn biểu thức:

 \[A = \left( {\frac{x}{{x - 2}} - \frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2} + 2x + 4}} - \frac{{7x + 10}}{{{x^3} - 8}}} \right):\frac{{x + 7}}{{{x^2} + 2x + 4}}\]

1.2. Chứng minh rằng với \[x \ne 0;x \ne  \pm 1\] thì biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến.

\[A = \left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x}} - \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x}}} \right).\frac{{{x^4} + {x^3} - {x^2} - x}}{{x + 1}}\]

1.3. Rút gọn biểu thức:

 \[A = \left( {\frac{{x - y}}{{2y - x}} + \frac{{{x^2} + {y^2} + y - 2}}{{2{y^2} + xy - {x^2}}}} \right):\frac{{4{x^2} + 4{x^2}y + {y^2} - 4}}{{{x^2} + y + xy + x}}\]

1.4. Cho biểu thức:

 \[P = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right]:\frac{{2x}}{{{x^3} + x}}\]

a) Rút gọn biểu thức P.

b) So sánh P với \[\frac{1}{2}\].

1.5. Cho \[P = \left( {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - x}} + \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}}} \right):\frac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - x}}\]

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

1.6. Cho \[A = \left( {\frac{x}{{{y^2} + xy}} - \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy}}} \right):\left( {\frac{{{y^2}}}{{{x^3} - x{y^2}}} + \frac{1}{{x + y}}} \right):\frac{x}{y}\]

a) Rút gọn A

b) Tìm x, y để \[A > 1\] và \[y < 0\]

1.7. Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện \[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 7\]

Tính giá trị biểu thức \[A = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}\] và \[B = {x^5} + \frac{2}{{{x^5}}}\]