\[\begin{array}{l}b)5{x^2}y\left( {x - 7} \right) - 5xy\left( {7 - x} \right)\\ = 5{x^2}y\left( {x - 7} \right) + 5xy\left( {x - 7} \right)\\ = 5xy\left( {x - 7} \right)\left( {x + 1} \right)\end{array}\]

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\[a)100{x^2} - 9{y^2}\] 

\[b)\,9{\left( {a + b} \right)^2} - 4{\left( {a - 2b} \right)^2}\]

\[c)8{x^3} + 27{y^3}\]  

\[d)125 - 75x + 9{x^2} - {x^3}\]

Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy trong ví dụ này mỗi đa thức đều có dạng hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Trình bày lời giải

\[a)100{x^2} - 9{y^2} = \left( {10x - 3y} \right)\left( {10x + 3y} \right)\]

\[b)9{\left( {a + b} \right)^2} - 4{\left( {a - 2b} \right)^2}\]

\[\begin{array}{l} = \left[ {3\left( {a + b} \right) - 2\left( {a - 2b} \right)} \right]\left[ {3\left( {a + b} \right) + 2\left( {a - 2b} \right)} \right]\\ = \left( {a - 7b} \right)\left( {5a - b} \right)\end{array}\]

\[c)8{x^3} + 27{y^3} = \left( {2x + 3y} \right)\left( {4{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right)\]

\[d)125 - 75x + 15{x^2} - {x^3} = {\left( {5 - x} \right)^3}\]

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\[a)x\left( {a + b} \right) + a + b\]      

\[b)3{a^2}x - 3{a^2}y + abx - aby\]

\[c)ax + bx + cx + 2a + 2b + 2c\]

Giải

Tìm cách giải. Mỗi đa thức trên không có nhân tử chung, không xuất hiện hằng đẳng thức. Quan sát kỹ nhận thấy nếu nhóm các hạng tử thích hợp thì xuất hiện nhân tử chung.

Trình bày lời giải

\[a)x\left( {a + b} \right) + a + b = \left( {a + b} \right)\left( {x + 1} \right)\]

\[\begin{array}{l}b)\,3{a^2}x - 3{a^2}y + abx - aby\\ = 3{a^2}\left( {x - y} \right) + ab\left( {x - y} \right)\\ = a\left( {x - y} \right)\left( {3a + b} \right)\end{array}\]

\[\begin{array}{l}c)\,ax + bx + cx + 2a + 2b + 2c\\ = x\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {a + b + c} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {a + b + c} \right)\end{array}\]

Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\[a){a^2} - {b^2} - 4a + 4b\]    

\[b){\left( {xy + 4} \right)^2} - {\left( {2x + 2y} \right)^2}\]

\[c){\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right)^2} - {a^2}{b^2} - {b^2}{c^2} - {c^2}{a^2}\]

Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy mỗi đa thức đều ẩn chứa trong đó hằng đẳng thức.

Vậy chúng ta có thể nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức

Trình bày lời giải

\[a)\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) - 4\left( {a - b} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 4} \right)\]

\[b)\left( {xy + 4 + 2x + 2y} \right)\left( {xy + 4 - 2x - 2y} \right)\]

\[ = \left( {x\left( {y + 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right)} \right)\left( {x\left( {y - 2} \right) - 2\left( {y - 2} \right)} \right)\]

\[ = \left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\]

\[c)\left( {{a^2} + {b^2} + ab - ab} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right) - {c^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\]

\[ = \left( {{a^2} + {b^2}} \right){\left( {a + b} \right)^2} - {c^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\]

\[\begin{array}{l} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}} \right]\\ = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\end{array}\]

Ví dụ 5: Cho các số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn

\[{a^2}\left( {b + c} \right) = {b^2}\left( {c + a} \right) = 2012\]

Tính giá trị biểu thức \[M = {c^2}\left( {a + b} \right)\]

Giải

Tìm cách giải. Từ giả thiết chúng ta không thể tính giá trị cụ thể của a, b, c. Do vậy bằng việc quan sát và nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ giữa a, b và c. Từ đó tìm được giá trị biểu thức M.

Trình bày lời giải

Ta có :

\[\begin{array}{l}{a^2}\left( {b + c} \right) = {b^2}\left( {c + a} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2}b + {a^2}c - {b^2}c - {b^2}a = 0\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow ab\left( {a - b} \right) + c\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\]

Vì \[a \ne b\] nên:

\[ \Rightarrow ab + bc + ca = 0\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {b - c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\ \Rightarrow {b^2}a + {b^2}c - b{c^2} - a{c^2}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow {b^2}a + {b^2}c = b{c^2} + a{c^2}\\ \Rightarrow {c^2}\left( {a + b} \right) = {b^2}\left( {a + c} \right)\end{array}\]

Vậy \[M = 2012\]

III. Bài tập vận dụng

3.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\[a)ab\left( {x - 2} \right) - {a^2}\left( {x - 2} \right)\]

\[b)4{x^3}{y^2} - 8{x^2}{y^3} + 12{x^3}y\]

Hướng dẫn giải – đáp số

\[a)ab\left( {x - 2} \right) - {a^2}\left( {x - 2} \right) = a\left( {x - 2} \right)\left( {a + b} \right)\]

\[b)4{x^3}{y^2} - 8{x^2}{y^3} + 12{x^3}y = 4{x^2}y\left( {xy - 2{y^2} + 3x} \right)\]

3.2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\[a){\left( {xy + 1} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2}\]

\[b){\left( {a + b + c} \right)^2} + {\left( {a + b - c} \right)^2} - 4{c^2}\]

\[c){\left( {{a^2} + 9} \right)^2} - 36{a^2}\]

Hướng dẫn giải – đáp số

\[\begin{array}{l}a){\left( {xy + 1} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2}\\ = \left( {xy + 1 - x - y} \right)\left( {xy + 1 + x + y} \right)\end{array}\]

\[ = \left[ {x\left( {y - 1} \right) + 1 - y} \right]\left[ {x\left( {y + 1} \right) + y + 1} \right]\]

\[ = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\]

\[b){\left( {a + b + c} \right)^2} + \left( {a + b - c + 2c} \right)\left( {a + b - c - 2c} \right)\]

\[ = {\left( {a + b + c} \right)^2} + \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - 3c} \right)\]

\[ = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + a + b - 3c} \right)\]

\[\begin{array}{l} = \left( {a + b + c} \right)\left( {2a + 2b - 2c} \right)\\ = 2\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\end{array}\]

\[\begin{array}{l}c){\left( {{a^2} + 9} \right)^2} - 36{a^2}\\ = \left( {{a^2} + 9 - 6a} \right)\left( {{a^2} + 9 + 6a} \right)\\ = {\left( {a - 3} \right)^2}{\left( {a + 3} \right)^2}\end{array}\]

3.3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

\[a)3a - 3b + {a^2} - 2ab + {b^2}\]

\[b){a^2} + 2ab + {b^2} - 2a - 2b + 1\]

\[c)4{b^2}{c^2} - {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2}\]

Hướng dẫn giải – đáp số

\[a)3\left( {a - b} \right) + {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {a - b} \right)\left( {3 + a - b} \right)\]

\[b){\left( {a + b} \right)^2} - 2\left( {a + b} \right) + 1 = {\left( {a + b - 1} \right)^2}\]

\[c)\left( {2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2}} \right)\]

\[ = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\]

\[ = \left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\]

3.4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

\[a){x^2} - 4xy + 4{y^2} - 9{a^2}\]

\[b)xy\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - ab\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]

\[c){x^2}\left( {a - b} \right) - 2xy\left( {a - b} \right) + a{y^2} - b{y^2}\]   

\[d)8x{y^3} - x{\left( {x - y} \right)^3}\]

Hướng dẫn giải – đáp số

\[\begin{array}{l}a)\,{x^2} - 4xy + 4{y^2} - 9{a^2}\\ = {\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {3a} \right)^2}\\ = \left( {x - 2 - 3a} \right)\left( {x - 2 + 3a} \right)\end{array}\]

\[\begin{array}{l}b)xy\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - ab\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ = xy{a^2} + xy{b^2} - ab{x^2} - ab{y^2}\end{array}\]

\[ = \left( {xy{a^2} - ab{x^2}} \right) + \left( {xy{b^2} - ab{y^2}} \right)\]

\[\begin{array}{l} = ax\left( {ay - bx} \right) + by\left( {bx - ay} \right)\\ = \left( {ay - bx} \right)\left( {ax - by} \right)\end{array}\]

\[\begin{array}{l}c){x^2}\left( {a - b} \right) - 2xy\left( {a - b} \right) + a{y^2} - b{y^2}\\ = {x^2}\left( {a - b} \right) - 2xy\left( {a - b} \right) + {y^2}\left( {a - b} \right)\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \left( {a - b} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\\ = \left( {a - b} \right){\left( {x - y} \right)^2}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}d)8x{y^3} - x{\left( {x - y} \right)^3}\\ = x\left[ {{{\left( {2y} \right)}^3} - {{\left( {x - y} \right)}^3}} \right]\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = x\left( {2y - x + y} \right)\left[ {4{y^2} + 2y\left( {x - y} \right) + {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right]\\ = x\left( {3y - x} \right)\left( {{x^2} + 3{y^2}} \right)\end{array}\]

3.5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

\[a)A = {x^2} - 4{x^2}{y^2} + {y^2} + 2xy\]       

\[b)B = {x^6} - {y^6}\]

\[c)C = 4xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 6\left( {{x^3} + {y^3} + {x^2}y + x{y^2}} \right) + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]

\[d)D = 25 - {a^2} + 2ab - {b^2}\]

Hướng dẫn giải – đáp số

\[a)A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4{x^2}{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 4{x^2}{y^2}\]

\[ = \left( {x + y - 2xy} \right)\left( {x + y + 2xy} \right)\]

\[\begin{array}{l}b)B = \left( {{x^3} - {y^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\end{array}\]

\[c)C = 4xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 6\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right) + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {4xy - 6x - 6y + 9} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left[ {2x\left( {2y - 3} \right) - 3\left( {2y - 3} \right)} \right]\]

\[ = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {2x - 3} \right)\left( {2y - 3} \right)\]

\[d)D = 25 - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) = 25 - {\left( {a - b} \right)^2}\]

\[ = \left( {5 + a - b} \right)\left( {5 - a + b} \right)\]

3.6. Phân tích đa thức thành nhân tử :

\[a){x^3} + 3{x^2}y - 4x{y^2} - 12{y^3}\]

\[b){x^3} + 4{y^2} - 2xy + {x^2} + 8{y^3}\]

\[c)3{x^2}\left( {a - b + c} \right) + 36xy\left( {a - b + c} \right) + 108{y^2}\left( {a - b + c} \right)\]

\[d)a\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {{a^2} + 1} \right)\]

Hướng dẫn giải – đáp số

\[a){x^3} + 3{x^2}y - 4x{y^2} - 12{y^3}\]

\[ = {x^2}\left( {x + 3y} \right) - 4{y^2}\left( {x + 3y} \right)\]

\[ = \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 3y} \right)\]

\[b){x^3} + 8{y^3} + {x^2} - 2xy + 4{y^2}\]

\[ = \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)\]

\[ = \left( {x + 2y + 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right)\]

\[c)3\left( {a - b + c} \right)\left( {{x^2} + 12xy + 36{y^2}} \right)\]

\[ = 3\left( {a - b + c} \right){\left( {x + 6y} \right)^2}\]

\[d)a{x^2} + a - x{a^2} - x\]

\[ = ax\left( {x - a} \right) - \left( {x - a} \right)\]

\[ = \left( {x - a} \right)\left( {ax - 1} \right)\]