Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập phương pháp quy nạp toán học, tài liệu bao gồm 10 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm những nội dung chính sau:

I. lý thuyết.

II. bài tập minh hoạ.

III. bài tập tự luyện.

Chủ đề 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I- LÍ THUYẾT:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\)(giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Chú ý: Trong TH phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\)(p là số tự nhiên) thì thuật toán là:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = p \ge 1\) (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

II – BÀI TẬP MINH HOẠ:

Dạng toán 1:         CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC – BẤT ĐẲNG THỨC

Bài tập 1: Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì 1+3+5+…+(2n-1)=n²                  (1)

Bài giải:

Kiểm tra khi n = 1: mệnh đề (1) trở thành: 1=1²=1 (đúng)

Giả sử mệnh đề (1) đúng khi \(n = p \ge 1\), tức là:

\({S_k} = 1 + 3 + 5 + ...(2k - 1) = {k^2}\)(giả thiết quy nạp)

Cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với n=k+1, tức là cần chứng minh:

\({S_{K + 1}} = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + 2\left[ {2(k + 1) - 1} \right] = {(k + 1)^2}\)

Thật vậy: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \left[ {2(k + 1) - 1} \right] = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\)

Vậy mệnh đề (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Bài tập 1: Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \(2 + 5 + 8 + ... + (3n - 1) = \frac{{n(3n + 1)}}{2}\,\,\,\,(2)\)

Bài giải:

Kiểm tra khi n = 1: mệnh đề (2) trở thành 2 = 2 ( đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng khi \(n = k \ge 1\), tức là:

\({S_k} = 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) = \frac{{k(3k + 1)}}{2}\) (giả thiết quy nạp)

Cần chứng minh mệnh để (2) đúng với n=k+1, tức là cần chứng minh:

\({S_{k + 1}} = 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + \left[ {3(k + 1) - 1} \right] = \frac{{(k + 1)\left[ {3(k + 1) + 1} \right]}}{2}\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + \left[ {3(k + 1) - 1} \right]\\ = \frac{{k(3k + 1)}}{2} + \left[ {3(k + 1) - 1} \right] = \frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2}\end{array}\)

\( = \frac{{3(k + 1)\left( {k + \frac{4}{3}} \right)}}{1} = \frac{{(k + 1)\left[ {3(k + 1) + 1} \right]}}{2}\)

Vậy mệnh đề (2) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\)

Bài tập 5: chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) thì \({3^n} > 3n + 1\)

Bài giải:

Kiểm tra với n = 2; 9 > 7 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k \((k \ge 2)\); tức là: \({3^k} > 3k + 1\)

Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1, tức là cần chứng minh bất đẳng thức:

\({3^{k + 1}} > 3(k + 1) + 1\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}{3^k} > 3k + 1 \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 9k + 3\\ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 3k + 3 + 6k + 1 - 1\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 3(k + 1) + 1 + 6k - 1\)

Với \(k \ge 2\), khi đó 6k – 1 > 0 nên: \({3^{k + 1}} > 3(k + 1) + 1\)

Vậy \({3^n} > 3n + 1\) với mọi \(n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^*}\)

Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\) ta có: \({3^n} > {n^2} + 4k + 5\)

Bài giải:

Kiểm tra với n = 3 : 27 > 26 ( đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 3\), nghĩa là: \({3^k} > {k^2} + 4k + 5\) (giả thiết quy nạp)

Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1, tức là cần chứng minh:

\({3^{k + 1}} > {(k + 1)^2} + 4(k + 1) + 5\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}{3^k} > {k^2} + 4k + 5 \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 3{k^2} + 12k + 15\\ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > ({k^2} + 2k + 1) + (4k + 4) + 2{k^2} + 6k + 5 + 5\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > {(k + 1)^2} + 4(k + 1) + 5 + 2{k^2} + 6k + 5\)

Với \(k \ge 3\), khi đó \(2{k^2} + 6k + 5\) nên: \({3^{k + 1}} > {(k + 1)^2} + 4(k + 1) + 5\)

Vậy: \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\,\) với \(n \ge 3\)

Bài tập 5: Với giá trị nào của số nguyên dương n, ta có: \({3^n} > {2^n} + 7n\)

Bài giải:

d) \({3^n} > {2^n} + 7n\)

ta thử với n = 1 : 3 > 2 + 7 (Sai), n = 2 : 9 > 4 + 14 (Sai), n = 3 : 27 > 8 + 21 (Sai)

n = 4 : 21 > 16 + 28 (Đúng), n = 5 : 243 > 32 + 35 (Đúng)

Dự đoán: \({3^n} > {2^n} + 7n\,\forall n \ge 4\). Chứng minh bằng quy nạp toán học.

Kiểm tra với n = 4 : 81 > 16 + 28 (Đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 4\), nghĩa là: \({3^k} > {2^k} + 7k\) (giả thiết quy nạp)

Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

\({3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7(k + 1)\)

Thật vậy: \({3^k} > {2^k} + 7k \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 3\left( {{2^k} + 7k} \right) = {3.2^k} + 21k\,\,\,\,(1)\)

Xét \({3.2^k} + 21k > {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right) \Leftrightarrow {2^k} + 14k - 7k > 0\,\forall k \ge 4\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \({3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7(k + 1)\)

Vậy: \({3^n} > {2^n} + 7n\,\forall n \ge 4\)

Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1, ta có: \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Bài giải:

Kiểm tra (1) với n = 2 : \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}} > \frac{{13}}{{24}}\,\) (Đúng)

Giả sử (1) đúng với n = k > 1, tức là: \({S_k} = \frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + ... + \frac{1}{{2k}} > \frac{{13}}{{24}}\) (giả thiết quy nạp)

Cần c/m (1) đúng với n = k + 1, tức là cần c/m:

\({S_{k + 1}} = \frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Thật vậy: \(\)\({S_{k + 1}} = \frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}\)

=\(\frac{1}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 2}} + \frac{1}{{k + 3}} + ... + \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2k + 2}} - \frac{1}{{k + 1}}\)

\[ = {s_k} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2k + 2}} - \frac{1}{{k + 1}} > \frac{{13}}{{24}} + \frac{1}{{2k + 1}} + \frac{1}{{2k + 3}} - \frac{1}{{k + 1}}\]\( > \frac{{13}}{{24}} + \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)}}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}\)

\( > \frac{{13}}{{24}} + \frac{1}{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} > \frac{{13}}{{24}}\,\,(k > 1).\)

Vậy \(\)\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\) đúng với mọi n > 1

Dạng toán 2:                             BÀI TOÁN CHIA HẾT

Bài tập 5: Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({n^3} - n\) chia hết cho 3.

Bài giải:

Đặt \({A_n} = {n^3} - n\)

Kiểm tra với n = 1, \({A_1} = 0:3\)(Đúng)

Giả sử mệnh đề \({A_n}\) đúng khi \(n = k \ge 1\), tức là: \({A_k} = {k^3} - k:3\)\({A_k} = {k^3} - k:3\) (giả thiết quy nạp)

Cần chứng minh mệnh đề \({A_n}\) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh mệnh đề:

\({A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right):3\)

Thật vậy:\({A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1\)

\( = \left( {{k^3} - k} \right) + 3\left( {{k^2} + k} \right) = {A_k} + 3\left( {{k^2} + k} \right):3\)

Vậy \({n^3} - n:3\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Bài tập 5: chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({n^7} - n\) chia hết cho 7.

Bài giải:

Đặt \({A_n} = {n^7} - n\)

B1: Kiểm tra với n = 1: \({A_1} = 0:7\) (đúng)

Giả sử mệnh đề \({A_k}\) đúng khi \(n = k \ge 1\), tức là: \({A_k} = {7^k} - 1:6\) (giả thiết quy nạp)

Cần chứng minh mệnh đề \({A_n}\) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh: \({A_{k + 1}} = {7^{k + 1}} - 1:6\)

Thật vậy: \({A_{k + 1}} = {7^{k + 1}} - 1 = 7\left( {{7^k} - 1} \right) + 6:6\)

Vậy \({7^n} - 1:6\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

MỘT SỐ BÀI TOÁN

Bài tập 5: Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\)

a) Tính \({S_1},{S_2},{S_3},{S_4}\).

b) Hãy dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Bài giải:

a)

\(\begin{array}{l}{S_1} = \frac{1}{{1.3}} = \frac{1}{3},{S_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{3.5}} = \frac{2}{5},\\{S_3} = \frac{2}{5} + \frac{1}{{5.7}} = \frac{3}{7},{S_4} = \frac{3}{7} + \frac{1}{{7.9}} = \frac{4}{9}.\end{array}\)

b) Từ kết quả câu (a) ta dự đoán: \({S_n} = \frac{n}{{2n + 1}}\left( 1 \right)\). Ta chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp.

Kiểm tra với n = 1: \({S_1} = \frac{1}{3}\) (đúng)

Giả sử biểu thức (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là: \({S_k} = \frac{k}{{2k + 1}}\)

Cần chứng minh biểu thức (1) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh: \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{2\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + \frac{1}{{\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}\\ = {S_k} + \frac{1}{{\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{k}{{2k + 1}} + \frac{1}{{\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)}}\\ = \frac{{2{k^2} + 3k + 1}}{{\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{{\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)}}\end{array}\)

\( = \frac{{k + 1}}{{2\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Vậy \({S_n} = \frac{n}{{2n + 1}}\,\,\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Bài tập 5: Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in {R^ + }\) và \({x_1},{x_2},...,{x_n} = 1\). Chứng minh \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\)

Bài giải:

Với n = 1: \({x_1} = 1\). Mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k \(\left( {k \ge 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n} \ge k\,\,\,\, \vee {x_1},{x_2},{x_3}...{x_k} = 1\,\,\,\left( * \right)\)

Nếu với mọi \({x_k} = 1\)thì hiển nhiên: \({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} + {x_{k + 1}} \ge k + 1.\,\,\)

Nếu trong k + 1 số có ít nhất một số lớn hơn 1, thì ắt phải có số  nhỏ hơn 1.

Không giảm tính tổng quát, giả sử \({x_k} > 1\) và \({x_{k + 1}} < 1\), khi đó ta có:

\(\left( {1 - {x_{k + 1}}} \right)\left( {{x_k} - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {x_k} + {x_{k + 1}} > 1 + {x_k}{x_{k + 1}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Dó đó:\({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} + {x_{k + 1}} > {x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} + 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\)

Theo giả thiết quy nạp, ta suy ra từ k số ở vế phải:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + \left( {{x_k}{x_{k + 1}}} \right) \ge k\,\,\,\,\,(3)\)

Từ (2) và (3) suy ra:\({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} + {x_{k + 1}} > k + 1.\)

Bài tập 5: Chứng minh: \(\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\) với: \(a \ge 0,b \ge 0,n \in {\mathbb{N}^*}\)

Bài giải:

Với n = 1. Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n = k \(\left( {k \ge 1} \right): \Leftrightarrow \frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta phải chứng minh: \(\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\)

Thật vậy, ta nhân hai vế của (1) với \(\frac{{a + b}}{2}\), ta có:

\[ \Leftrightarrow \frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}.\frac{{a + b}}{2} \ge \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right).\frac{{a + b}}{2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Nhưng với a > 0, b > 0 thì:

\(\begin{array}{l}\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^{k + 1}}{b^{k + 1}} \ge {a^k}b + a{b^k}\end{array}\)

Suy ra: \(\frac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4} \le \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

So sánh (2) và (3) ta được điều phải chứng minh.