Giải Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3

Nguyễn Lê Thục Nhi Ngày: 28-05-2022 Lớp 11

6.3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3 chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Ôn tập Chương 3 lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài Ôn tập Chương 3

Bài tập (trang 107, 108, 109 sgk Đại số và Giải tích 11)

Bài 1 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Phương pháp giải:

Nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm.

Lời giải:

Xét cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{n + 1} = u_{n} + d$ , ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = d$

+) $u_{n + 1} > u_{n}$ nếu $d > 0$

+) $u_{n + 1} < u_{n}$ nếu $d < 0$

Vậy cấp số cộng $(u_{n})$

+) Tăng nếu $d > 0$

+) Giảm nếu $d < 0$ .

Bài 2 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho cấp số nhân có u₁ < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a. q > 0

b. q < 0

Phương pháp giải:

SHTQ của cấp số nhân: u_n = u₁q^n-1 với u1 là số hạng đầu của CSN và q là công bội của CSN.

Lời giải:

a. Ta có:

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

$q > 0 \Rightarrow q^{n - 1} > 0 \Rightarrow u_{1} . q^{n - 1} < 0$

(vì $u_{1} < 0$ )

$\Rightarrow u_{n} < 0, \forall n$

b. Do $q < 0$ nên:

+ Nếu $n$ chẵn $\Rightarrow n - 1$ lẻ $\Rightarrow q^{n - 1} < 0$

$\Rightarrow u_{1} . q^{n - 1} > 0 (V ì u_{1} < 0) .$

$\Rightarrow u_{n} > 0.$

+ Nếu $n$ lẻ $\Rightarrow n - 1$ chẵn $\Rightarrow q^{n - 1} > 0$

$\Rightarrow u_{1} . q^{n - 1} < 0 (V ì u_{1} < 0) .$

$\Rightarrow u_{n} < 0.$

Vậy nếu $q < 0, u_{1} < 0$ thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

Bài 3 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.

Phương pháp giải:

Cho u1 là số hạng đầu của CSC và d là công sai của CSC đó, ta có u_n+1 - u_n = d = const

Lời giải:

Giả sử có hai cấp số cộng $(u_{n})$ với công sai $d_{1}$ và $(v_{n})$ với công sai $d_{2}$ .

Suy ra ${\begin{cases} u_{n + 1} - u_{n} = d_{1} \\ v_{n + 1} - v_{n} = d_{2} \end{cases}$

Xét dãy $(a_{n})$ với $a_{n} = u_{n} + v_{n}$

Ta có: $a_{n + 1} - a_{n} = (u_{n + 1} + v_{n + 1}) - (u_{n} + v_{n})$

$\begin{array}{l} = (u_{n + 1} - u_{n}) + (v_{n + 1} - v_{n}) \\ = d_{1} + d_{2} = c o n s t \end{array}$

Vậy $(a_{n})$ là cấp số cộng có số hạng đầu là $a_{1} = u_{1} + v_{1}$ và công sai là $d_{1} + d_{2}$

Ví dụ:

$1, 3, 5, 7, . . .$ là cấp số cộng có $u_{1} = 1$ và $d_{1} = 2$

$0, 5, 10, 15, . . .$ là cấp số cộng có $v_{1} = 0$ và $d_{2} = 5$

$\Rightarrow (a_{n}) : 1, 8, 15, 22, . . .$ là cấp số cộng có $a_{1} = 1 + 0 = 1$ và $d = d_{1} + d_{2} = 2 + 5 = 7$ .

Bài 4 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tính các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Phương pháp giải:

Định nghĩa CSN: (u_n) là CSN công bội q thì u_n+1 = qu_n

Lời giải:

Gọi $(a_{n})$ là cấp số nhân công bội $q_{1}$ và $(b_{n})$ là cấp số nhân công bội $q_{2}$ tương ứng.

Xét $(u_{n})$ với $u_{n} = a_{n} . b_{n}$

Ta có:

$u_{n + 1} = a_{n + 1} . b_{n + 1}$

$\Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{a_{n + 1} b_{n + 1}}{a_{n} b_{n}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} . \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = q_{1} q_{2}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ là một cấp số nhân có công bội : $q = q_{1} q_{2}$

Ví dụ:

$1, 2, 4, . . .$ là cấp số nhân có công bội $q_{1} = 2$

$3, 9, 27, . . .$ là cấp số nhân có công bội $q_{2} = 3$

Suy ra: $3, 18, 108...$ là cấp số nhân có công bội: $q = q_{1} q_{2} = 2.3 = 6$ .

Bài 5 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗, ta có:

a. 13ⁿ - 1 chia hết cho 6

b. 3n³ + 15n chia hết cho 9

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải:

a. Với $n = 1$ , ta có: $13^{1} - 1 = 13 - 1 = 12 ⋮ 6$

Giả sử: $13^{k} - 1$ $⋮$ $6$ với mọi $k \geq 1$

Ta chứng minh: $13^{k + 1} - 1$ chia hết cho $6$

Thật vậy:

$13^{k + 1} - 1 = 13^{k + 1} - 13^{k} + 13^{k} - 1$

$\begin{array}{l} = (13^{k + 1} - 13^{k}) + (13^{k} - 1) \\ = 13^{k} (13 - 1) + (13^{k} - 1) \end{array}$

$= {12.13}^{k} + 13^{k} - 1$

Vì : ${12.13}^{k}$ $⋮$ $6$ và $13^{k} - 1$ $⋮$ $6$ (theo giả thiết quy nạp)

Nên : $13^{k + 1} - 1$ $⋮$ $6$

Vậy $13^{n} - 1$ chia hết cho $6$ với mọi $n \in N^{*}$ .

b. Với $n = 1$ , ta có: ${3.1}^{3} + 15.1 = 18$ $⋮$ $9$

Giả sử: $3 k^{3} + 15 k$ $⋮$ $9$ $\forall k \geq 1$ .

Ta chứng minh: $3 (k + 1)^{3} + 15 (k + 1)$ $⋮$ $9$

Thật vậy:

$3 {(k + 1)}^{3} + 15 (k + 1)$

$= 3. (k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1) + 15 (k + 1)$

$= 3 k^{3} + 9 k^{2} + 9 k + 15 k + 18$

$= (3 k^{3} + 15 k) + 9 (k^{2} + k + 2)$

Vì $3 k^{3} + 15 k$ $⋮$ $9$ (theo giả thiết quy nạp) và $9 (k^{2} + k + 2)$ $⋮$ $9$

Nên: $3 (k + 1)^{3} + 15 (k + 1)$ $⋮$ $9$

Vậy: $3 n^{3} + 15 n$ chia hết cho $9$ với mọi $n \in N^{*}$

Bài 6 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho dãy số (u_n), biết u₁ = 2, u_n+1 = 2u_n-1 (với n

\geq

a. Viết năm số hạng đầu của dãy

b. Chứng minh: u_n = 2^n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

Viết các số hạng còn lại theo quy luật bài cho.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} u_{1} = 2 \\ u_{2} = 2 u_{1} - 1 = 3 \\ u_{3} = 2 u_{2} - 1 = 5 \\ u_{4} = 2 u_{3} - 1 = 9 \\ u_{5} = 2 u_{4} - 1 = 17 \end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

Với $n = 1$ , ta có: $u_{1} = 2^{1 - 1} + 1 = 2$ công thức đúng

Giả sử công thức đúng với mọi $n = k \geq 1$ . Nghĩa là: $u_{k} = 2^{k - 1} + 1$

Ta chứng minh công thức cũng đúng với $n = k + 1$ , nghĩa là ta phải chứng minh:

$u_{k + 1} = 2^{(k + 1) - 1} + 1 = 2^{k} + 1$

Ta có: $u_{k + 1} = 2 u_{k} - 1 = 2 (2^{k - 1} + 1) - 1$ $= {2.2}^{k - 1} + 2 - 1 = 2^{k} + 1$ (đpcm)

Vậy $u_{n} = 2^{n - 1} + 1$ với mọi $n \in N^{*}$ .

Bài 7 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u_n), biết:

u_{n} = n + \frac{1}{n}

u_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \sin \frac{1}{n}

u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}

Phương pháp giải:

*) Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.

Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.

Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.

*) Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_{n} \leq M \forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_{n} \geq m \forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $M, m$ sao cho $m \leq u_{n} \leq M \forall n \in N^{*}$ .

Lời giải:

Xét hiệu:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} \\ = (n + 1 + \frac{1}{n + 1}) - (n + \frac{1}{n}) \\ = n + 1 + \frac{1}{n + 1} - n - \frac{1}{n} \\ = 1 + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} \\ = \frac{n^{2} + n + n - n - 1}{n (n + 1)} = \frac{n^{2} + n - 1}{n (n + 1)} > 0 \forall n \in N^{*} \end{array}$

Do $n^{2} + n - 1 \geq 1^{2} + 1 - 1 = 1 > 0$ và n(n+1) > 0 với $\forall n \in N^{*}$

Suy ra: $u_{n}$ là dãy số tăng.

Mặt khác: $u_{n} = n + \frac{1}{n} \geq 2 \sqrt{n . \frac{1}{n}} = 2, \forall n \in N^{*}$ $\Rightarrow u_{n}$ là dãy số bị chặn dưới.

Khi $n$ càng lớn thì $u_{n}$ càng lớn nên $u_{n}$ là dãy số không bị chặn trên.

Vậy $u_{n}$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Ta có:

$u_{1} = (- 1)^{1 - 1} \sin 1 = \sin 1 > 0$

$\begin{aligned} u_{2} = {(- 1)}^{2 - 1} . \sin \frac{1}{2} = - \sin \frac{1}{2} < 0 \\ u_{3} = (- 1)^{3 - 1} . \sin \frac{1}{3} = \sin \frac{1}{3} > 0 \end{aligned}$

$\Rightarrow u_{1} > u_{2}$ và $u_{2} < u_{3}$

Vậy $u_{n}$ là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có: $| u_{n} | = | {(- 1)}^{n - 1} \sin \frac{1}{n} | = | \sin \frac{1}{n} | \leq 1$ $\Leftrightarrow - 1 \leq u_{n} \leq 1$

Vậy $u_{n}$ là dãy số bị chặn.

Cách khác:

Với $n \geq 1$ thì $0 < \frac{1}{n} < 1 < \frac{π}{2} \Rightarrow \sin \frac{1}{n} > 0, \forall n$

Suy ra: Với $n$ chẵn $\Rightarrow n - 1$ lẻ

$\Rightarrow {(- 1)}^{n - 1} = - 1 \Rightarrow u_{n} < 0$

Với $n$ lẻ $\Rightarrow n - 1$ chẵn

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(- 1)}^{n - - 1} = 1 \Rightarrow u_{n} > 0. \\ \Rightarrow u_{1} > u_{2} < u_{3} > u_{4} < u_{5} > u_{6} \dots \end{array}$

$\Rightarrow (u_{n})$ không tăng không giảm.

$\Rightarrow {(- 1)}^{n - 1} = - 1 \Rightarrow u_{n} < 0$

Ta có:

$u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ $= \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ $= \frac{n + 1 - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ $= \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

Xét hiệu:

$\begin{aligned} u_{n + 1} - u_{n} \\ = \frac{1}{\sqrt{(n + 1) + 1} + \sqrt{n + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \\ = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \end{aligned}$

Ta có:

${\begin{matrix} \sqrt{n + 2} > \sqrt{n + 1} \\ \sqrt{n + 1} > \sqrt{n} \end{matrix}$

$\Rightarrow \sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} > \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} > 0$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} < \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} < 0$

$\Rightarrow u_{n}$ là dãy số giảm.

Mặt khác: $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} > 0, \forall n \in N^{*}$ $\Rightarrow u_{n}$ là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với $n \geq 1$ thì $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \geq \sqrt{2} + 1$

$\Rightarrow u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Suy ra: $u_{n}$ là dãy số bị chặn trên.

Vậy $u_{n}$ là dãy số giảm và bị chặn.

Bài 8 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của các cấp số cộng (u_n) biết:

\{\begin{cases} 5 u_{1} + 10 u_{5} = 0 \\ S_{4} = 14 \end{cases}

\{\begin{cases} u_{7} + u_{15} = 60 \\ {u^{2}}_{4} + {u^{2}}_{12} = 1170 \end{cases}

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức

$\begin{array}{l} u_{n} = u_{1} + (n - 1) d \\ S_{n} = \frac{(2 u_{1} + (n - 1) d) n}{2} \end{array}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} 5 u_{1} + 10 u_{5} = 0 \\ S_{4} = 14 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 5 u_{1} + 10 (u_{1} + 4 d) = 0 \\ \frac{(2 u_{1} + 3 d) .4}{2} = 14 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 15 u_{1} + 40 d = 0 \\ 2 u_{1} + 3 d = 7 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} = 8 \\ d = - 3 \end{cases} \end{array}$

Vậy số hạng đầu $u_{1} = 8$ , công sai $d = - 3$

Ta có:

${\begin{matrix} u_{7} + u_{15} = 60 \\ u_{4}^{2} + u_{12}^{2} = 1170 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} (u_{1} + 6 d) + (u_{1} + 14 d) = 60 (1) \\ (u_{1} + 3 d)^{2} + (u_{1} + 11 d)^{2} = 1170 (2) \end{matrix}$

$(1) \Leftrightarrow 2 u_{1} + 20 d = 60 \Leftrightarrow u_{1} = 30 - 10 d$ thế vào $(2)$

$(2) \Leftrightarrow [(30 - 10 d) + 3 d]^{2} + [(30 - 10 d) + 11 d]^{2} = 1170$

$\Leftrightarrow (30 - 7 d)^{2} + (30 + d)^{2} = 1170$

$\Leftrightarrow 900 - 420 d + 49 d^{2} + 900 + 60 d + d^{2} = 1170$

$\Leftrightarrow 50 d^{2} - 360 d + 630 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} d = 3 \Rightarrow u_{1} = 0 \\ d = \frac{21}{5} \Rightarrow u_{1} = - 12 \end{matrix}$

Vậy ${\begin{matrix} u_{1} = 0 \\ d = 3 \end{matrix}$ hoặc ${\begin{matrix} u_{1} = - 12 \\ d = \frac{21}{5} \end{matrix}$

Bài 9 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11:Tìm số hạng đầu u₁ và công bội của các cấp số nhân (u_n), biết:

\{\begin{cases} u_{6} = 192 \\ u_{7} = 384 \end{cases}

\{\begin{cases} u_{4} - u_{2} = 72 \\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{cases}

\{\begin{cases} u_{2} + u_{5} - u_{4} = 10 \\ u_{3} + u_{6} - u_{5} = 20 \end{cases}

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: u_n = u₁q^n-1

Lời giải:

{\begin{matrix} u_{6} = 192 \\ u_{7} = 384 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} . q^{5} = 192 (1) \\ u_{1} . q^{6} = 384 (2) \end{matrix}

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: $q = 2$ thế vào (1) ta có: $u_{1} {.2}^{5} = 192 \Leftrightarrow u_{1} = 6$

Vậy $u_{1} = 6$ và $q = 2$ .

b. Ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} u_{4} - u_{2} = 72 \\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} q^{3} - u_{1} q = 72 \\ u_{1} q^{4} - u_{1} q^{2} = 144 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} q (q^{2} - 1) = 72 \\ u_{1} q^{2} (q^{2} - 1) = 144 \end{cases} \\ \Rightarrow \frac{u_{1} q^{2} (q^{2} - 1)}{u_{1} q (q^{2} - 1)} = \frac{144}{72} \\ \Leftrightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \\ \Rightarrow u_{1} .2 . (2^{2} - 1) = 72 \\ \Leftrightarrow u_{1} .6 = 72 \Leftrightarrow u_{1} = 12 \end{array}$

Vậy $u_{1} = 12$ và $q = 2$

c. Ta có:

$\begin{aligned} {\begin{matrix} u_{2} + u_{5} - u_{4} = 10 \\ u_{3} + u_{6} - u_{5} = 20 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} . q + u_{1} . q^{4} - u_{1} . q^{3} = 10 \\ u_{1} . q^{2} + u_{1} . q^{5} - u_{1} . q^{4} = 20 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} q (1 + q^{3} - q^{2}) = 10 (1) \\ u_{1} q^{2} (1 + q^{3} - q^{2}) = 20 (2) \end{matrix} \end{aligned}$

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: $q = 2$ thế vào (1)

(1) $\Leftrightarrow 2 u_{1} (1 + 8 - 4) = 10 \Leftrightarrow u_{1} = 1$

Vậy $u_{1} = 1$ và $q = 2$ .

Bài 10 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức SHTQ: u_n=u₁+(n−1)d

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: $A, B, C, D$ là một cấp số cộng và $\hat{C} = 5 \hat{A}$

Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: $d$ . Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

$\hat{B} = \hat{A} + d$ , $\hat{C} = \hat{A} + 2 d$ , $\hat{D} = \hat{A} + 3 d$

$\Rightarrow \hat{A} + 2 d = 5 \hat{A}$

$\Leftrightarrow 4 \hat{A} - 2 d = 0$ (1)

Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng $360^{0}$ nên:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{0}$

$\Leftrightarrow \hat{A} + (\hat{A} + d) + (\hat{A} + 2 d) + (\hat{A} + 3 d) = 360^{0}$

$\Leftrightarrow 4 \hat{A} + 6 d = 360^{0}$ (2)

Lấy $(2) - (1)$ ta được: $8 d = 360^{0} \Rightarrow d = 45^{0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 \hat{A} - {2.45}^{0} = 0 \\ \Leftrightarrow \hat{A} = 22, 5^{0} = 22^{0} 30^{'} \\ \hat{B} = \hat{A} + 45^{0} = 67^{0} 30^{'} \\ \hat{C} = \hat{A} + {2.45}^{0} = 112^{0} 30^{'} \\ \hat{D} = \hat{A} + {3.45}^{0} = 157^{0} 30^{'} \end{array}$

Bài 11 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Biết rằng ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.

Lời giải:

Giả sử ba số $x, y, z$ lập thành một cấp số nhân với công bội $q$ ta có: $y = x . q$ và $z = y . q = x . q^{2}$ .

Ba số $x, 2 y, 3 z$ lập thành một cấp số cộng nên:

$x + 3 z = 2. 2 y$

$\Leftrightarrow x + 3. (x q^{2}) = 4. (x q)$

$\Leftrightarrow x + 3 x q^{2} - 4 x q = 0$

$\Leftrightarrow x . (1 + 3 q^{2} - 4 q) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $3 q^{2} - 4 q + 1 = 0$

Nếu $x = 0$ thì $x = y = z = 0$ , $q$ không xác định (loại)

Nếu $x \neq 0$ thì $3 q^{2} - 4 q + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} q = 1 \\ q = \frac{1}{3} \end{matrix}$

Cách khác:

Gọi công bội của CSN $x; y; z$ là $q$ .

$\Rightarrow y = x . q; z = x . q^{2} .$

Lại có : $x; 2 y; 3 z$ lập thành CSC

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 y - x = 3 z - 2 y \\ \Leftrightarrow 2. x q - x = 3. x q^{2} - 2. x q \\ \Leftrightarrow x (2 q - 1) = x . (3 q^{2} - 2 q) \\ \Leftrightarrow x . (3 q^{2} - 4 q + 1) = 0 \end{array}$

+ Nếu $x = 0 \Rightarrow y = z = 0$

$\Rightarrow q$ không xác định (loại).

+ Nếu $x \neq 0 \Rightarrow 3 q^{2} - - 4 q + 1 = 0 \Leftrightarrow q = 1$ hoặc $q = \frac{1}{3}$

Vậy CSN có công bội $q = 1$ hoặc $q = \frac{1}{3}$

Bài 12 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11: Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12288 m². Tính diện tích mặt trên cùng.
Phương pháp giải: Diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân. Sử dụng công thức SHTQ của CSN: u_n = u₁.q^n-1 .
Lời giải:

Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là $S_{1}; S_{2}; S_{3}; \dots; S_{11} .$

Ta có:

Diện tích đế tháp: $S_{0} = 12288 m^{2}$

Diện tích tầng 1: $S_{1} = \frac{1}{2} S_{0} = \frac{1}{2} .12288 m^{2} = 6144 m^{2}$

Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.

Do đó $(S_{n})$ là CSN có số hạng đầu $S_{1} = 6144 m^{2}$ công bội $q = \frac{1}{2}$ .

Diện tích tầng 11 là $S_{11} = S_{1} q^{10} = 6144. {(\frac{1}{2})}^{10} = 6 m^{2}$

Bài 13 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng nếu các số a², b², c² lập thành một cấp số cộng (abc # 0) thì các số

\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}

cũng lập thành một cấp số cộng.

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì: x + z = 2y.

Lời giải:

Ta phải chứng minh: $\frac{1}{b + c} - \frac{1}{c + a} = \frac{1}{c + a} - \frac{1}{a + b}$

Thật vậy,

$\begin{aligned} \frac{1}{b + c} - \frac{1}{c + a} = \frac{1}{c + a} - \frac{1}{a + b} \\ \Leftrightarrow \frac{c + a - b - c}{(c + a) (b + c)} = \frac{a + b - c - a}{(c + a) (a + b)} \\ \Leftrightarrow \frac{a - b}{b + c} = \frac{b - c}{a + b} \\ \Leftrightarrow (a - b) (a + b) = (b + c) (b - c) \\ \Leftrightarrow a^{2} - b^{2} = b^{2} - c^{2} \end{aligned}$

(đúng do $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ lập thành CSC)

Vậy (1) đúng nên $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}; \frac{1}{a + b}$ là cấp số cộng.

Bài 14 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11:Cho dãy số (u_n), biết u_n=3ⁿ. Hãy chọn phương án đúng:

a. Số hạng $u_{n + 1}$ bằng:

A. $3^{n} + 1$ B. $3^{n} + 3$

C. $3^{n} .3$ D. $3 (n + 1)$

b. Số hạng $u_{2 n}$ bằng:

A. ${2.3}^{n}$ B. $9^{n}$

C. $3^{n} + 3$ D. $6 n$

c. Số hạng $u_{n - 1}$ bằng :

A. $3^{n} - 1$ B. $\frac{1}{3} {.3}^{n}$

C. $3^{n} - 3$ D. $3 n - 1$

d. Số hạng $u_{2 n - 1}$ bằng:

A. $3^{2} {.3}^{n} - 1$ B. $3^{n} {.3}^{n - 1}$

C. $3^{2 n} - 1$ D. $3^{2 (n - 1)}$

Phương pháp giải:

Thay n bằng n+1

Lời giải:

Ta có: $u_{n + 1} = 3^{n + 1} = 3^{n} .3$

Chọn đáp án C.

Phương pháp giải:

Thay n bằng 2n

Lời giải:

Ta có: $u_{2 n} = 3^{2 n} = (3^{2})^{n} = 9^{n}$ ,

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Thay n bằng n-1

Lời giải:

Ta có: $u_{n - 1} = 3^{n - 1} = 3^{n} {.3}^{- 1} = \frac{3^{n}}{3}$

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Thay n bằng 2n-1

Lời giải:

Ta có: $u_{2 n - 1} = 3^{2 n - 1} = 3^{n} {.3}^{n - 1}$

Chọn đáp án B

Bài 15 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy cho biết dãy số

(u_{n})

nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát

u_{n}

của nó là:

A. $(- 1)^{n + 1} . \sin \frac{π}{n}$ B. $(- 1)^{2 n} (5^{n} + 1)$

C. $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + n}$ D. $\frac{n}{n^{2} + 1}$

Phương pháp giải:

Dãy số (u_n) là dãy số tăng nếu ta có u_n+1 > u_n với mọi n

\in

Lời giải:

Xét từng phương án ta có:

_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử ${(- 1)}^{n + 1}$ nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, $u_{n}$ không thể là dãy số tăng.

_ Phương án C:

$\begin{aligned} u_{3} = \frac{1}{\sqrt{3 + 1} + 1} = \frac{1}{3} \\ u_{8} = \frac{1}{\sqrt{8 + 1} + 1} = \frac{1}{4} \end{aligned}$

$\Rightarrow u_{8} < u_{3} \Rightarrow u_{n}$ không là dãy số tăng $\Rightarrow$ loại đáp án C

_ Phương án D: $u_{1} = \frac{1}{2}, u_{2} = \frac{2}{5}$

$\Rightarrow u_{2} < u_{1} \Rightarrow u_{n}$ không là dãy số tăng $\Rightarrow$ loại phương án D

Chọn đáp án B.

Thật vậy:

$u_{n} = {(- 1)}^{2 n} . (5^{n} + 1) = 5^{n} + 1$

(vì $2 n$ chẵn nên ${(- 1)}^{2 n} = 1$ )

Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = (5^{n + 1} + 1) - (5^{n} + 1) = 5^{n + 1} - 5^{n}$

$= 5^{n} . (5 - 1) = 4. 5^{n} > 0, \forall n \in N^{*}$

Suy ra: $u_{n}$ là dãy số tăng.

Cách tổng quát:

Đáp án A:

(un): $u_{n} = {(- 1)}^{n + 1} . \sin \frac{π}{n}$ có:

$u_{1}; u_{3}; u_{5}; \dots$ dương

$u_{2}; u_{4}; u_{6}; \dots$ âm

⇒ dãy số không tăng không giảm.

Đáp án B:

$(u_{n}) : {(- 1)}^{2 n} . (5^{n} + 1) = 5^{n} + 1 .$

$u_{n + 1} = 5^{n + 1} + 1 > 5^{n} + 1 = u_{n}$ với mọi n ∈ N.

$\Rightarrow (u_{n})$ là dãy số tăng.

Đáp án C:

$\begin{array}{l} + (u_{n}) : u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + n} \\ u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + n + 1} < \frac{1}{\sqrt{n + 1} + n} = u_{n} \end{array}$

$\Rightarrow (u_{n})$ là dãy số giảm.

Đáp án D:

$\begin{array}{l} + (u_{n}) : u_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1} \\ u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{{(n + 1)}^{2} + 1} - \frac{n}{n^{2} + 1} \\ = \frac{(n + 1) (n^{2} + 1) - n . (n^{2} + 2 n + 1)}{(n^{2} + 2 n + 1) (n^{2} + 1)} \\ = \frac{- n^{2} - n + 1}{(n^{2} + 2 n + 1) (n^{2} + 1)} < 0 \forall n \geq 1. \end{array}$

$\Rightarrow (u_{n})$ là dãy giảm.

Bài 16 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số cộng

- 2, x, 6, y

. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. $x = - 6, y = - 2$ B. $x = 1, y = 7$

C. $x = 2, y = 8$ D. $x = 2, y = 10$

Phương pháp giải:

Tính chất CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số hạng liên tiếp của CSC thì x+z=2y.

Lời giải:

Theo giả thiết: $- 2, x, 6, y$ là cấp số cộng

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x = (- 2) + 6 \\ 2.6 = x + y \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 2 \\ y = 10 \end{matrix}$

Chọn đáp án D.

Bài 17 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số nhân

- 4, x, - 9

. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

$A . x = 36$ $B . x = - 6, 5$

$C . x = 6$ $D . x = - 36$

Phương pháp giải: Tính chất CSN: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSN thì xz=y².

Lời giải:

Ta có: $- 4, x, - 9$ là ba số hạng của một cấp số nhân nên:

$x^{2} = (- 4) . (- 9) = 36 \Leftrightarrow x = 6$ hoặc $x = - 6$ .

Chọn đáp án C.

Bài 18 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho cấp số cộng

(u_{n})

. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A. $\frac{u_{10} + u_{20}}{2} = u_{5} + u_{10}$

B. $u_{90} + u_{210} = 2 u_{150}$

C. $u_{10} u_{30} = 5 u_{20}$

D. $\frac{u_{10} . u_{30}}{2} = u_{20}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức SHTQ của CSC: u_n=u₁+(n-1)d

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Bài 19 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:

A. ${\begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n}^{2} \end{matrix}$

B. ${\begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = 3 u_{n} \end{matrix}$

C. ${\begin{matrix} u_{1} = - 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 1 \end{matrix}$

D. $7, 77, 777, . . . . \underset{n}{\underset{⏟}{777..77}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa CSN.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} + {\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} \end{cases} \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = u_{n}; \frac{u_{n + 2}}{u_{n + 1}} = u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} \\ \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \neq \frac{u_{n + 2}}{u_{n + 1}} \end{array}$

$\Rightarrow (u_{n})$ không phải CSN.

$+ {\begin{cases} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = 3 u_{n} \end{cases} \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = 3 \forall n \geq 1$

$\Rightarrow (u_{n})$ là CSN với công bội q = 3 ; u1 = -1.

$+ {\begin{cases} u_{1} = - 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 1 \end{cases}$

Đây là cấp số cộng với $u_{1} = - 3$ ; công sai $d = 1$ .

+ $7; 77; 777; \dots; 777 \dots 77$

$\begin{array}{l} \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{77}{7} = 11; \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{777}{77} \neq 11; \\ \Rightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}} \end{array}$