Trả lời nhanh
Bốn điểm đồng phẳng là bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng. Để chứng minh A, B, C, D đồng phẳng, ta chọn hai đường thẳng a, b, mỗi đường đi qua hai trong bốn điểm (hai cặp khác nhau), rồi chứng minh a // b hoặc a cắt b. Khi đó a và b xác định một mặt phẳng chứa cả bốn điểm.
4 điểm đồng phẳng là gì?
Trong không gian, ba điểm không thẳng hàng luôn xác định đúng một mặt phẳng. Vì vậy, “bốn điểm đồng phẳng” thực chất là nói điểm thứ tư có nằm trong mặt phẳng tạo bởi ba điểm kia hay không.
- Bốn điểm đồng phẳng: tồn tại một mặt phẳng chứa cả bốn điểm.
- Bốn điểm không đồng phẳng: không có mặt phẳng nào chứa cả bốn. Khi đó bốn điểm là bốn đỉnh của một tứ diện.
- Nếu trong bốn điểm có ba điểm thẳng hàng thì bốn điểm đó luôn đồng phẳng.
Mẹo nhớ: hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng; hai đường thẳng chéo nhau thì không. Cả bài này xoay quanh mẹo đó.
Phương pháp chứng minh bốn điểm đồng phẳng
| Cách | Nội dung | Khi nào dùng |
|---|---|---|
| 1 | Tìm hai đường thẳng a ∋ A, B và b ∋ C, D rồi chứng minh a // b | Đề cho trung điểm, tỉ lệ đoạn thẳng, hình bình hành |
| 2 | Chứng minh a và b cắt nhau tại một điểm | Đề cho các điểm thuộc giao tuyến hoặc các đường đồng quy |
| 3 | Chứng minh điểm thứ tư thuộc mặt phẳng qua ba điểm còn lại (nằm trên một đường thẳng thuộc mặt phẳng đó) | Các điểm nằm trên cạnh của hình chóp, tứ diện |
Cách 1 là cách hay gặp nhất. Hai công cụ chính để chứng minh song song là đường trung bình và định lí Ta-lét đảo (hai tỉ số bằng nhau thì hai đường song song). Tính chất “cùng song song với đường thứ ba thì song song với nhau” cũng rất hay dùng.
Lỗi thường gặp
- Chọn hai đường thẳng dùng chung một điểm, chẳng hạn AB và AC. Hai đường này luôn cắt nhau nhưng chỉ chứa ba điểm A, B, C, không nói được gì về điểm D. Hai đường phải đi qua hai cặp điểm rời nhau: (A, B) và (C, D).
- Chỉ chứng minh hai đường “không có điểm chung” rồi kết luận song song. Trong không gian, hai đường không có điểm chung còn có thể chéo nhau.
- Nhìn hình vẽ thấy “có vẻ song song” rồi kết luận. Mọi quan hệ song song phải được suy ra từ giả thiết.
Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Ba đường thẳng đồng quy là ba đường thẳng cùng đi qua một điểm. Có hai cách thường dùng.
- Dùng giao điểm. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng đầu, rồi chứng minh I thuộc đường thẳng thứ ba. Cách làm chi tiết xem ở bài ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong phần liên quan: Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy.
- Dùng giao tuyến của ba mặt phẳng. Giả sử a, b, c lần lượt là giao tuyến của từng cặp trong ba mặt phẳng (α), (β), (γ). Khi đó a, b, c hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song. Nếu chỉ ra được hai trong ba giao tuyến cắt nhau thì loại được trường hợp song song, và ba đường đồng quy.
Cách 2 rất hiệu quả khi đề cho một mặt phẳng “cắt” hình chóp hoặc tứ diện. Muốn tìm giao tuyến, xem lại cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
Lỗi thường gặp
- Quên bước “hai giao tuyến cắt nhau” nên chưa loại trường hợp đôi một song song.
- Gọi sai giao tuyến. Với mỗi đường thẳng phải nêu rõ nó là giao của hai mặt phẳng nào.
- Khẳng định “I thuộc hai mặt phẳng nên I thuộc giao tuyến” mà không chỉ ra I thuộc đường nào nằm trong mặt phẳng nào.
Ví dụ minh hoạ
Hai ví dụ đầu dùng chung một hình: tứ diện ABCD với các trung điểm M, N, P, Q của AB, BC, CD, DA; I, J là trung điểm của AC, BD.
Ví dụ 1. Chứng minh M, N, P, Q đồng phẳng
Giải.
- MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AC.
- PQ là đường trung bình của tam giác ACD nên PQ // AC.
- Suy ra MN // PQ. Hai đường song song xác định một mặt phẳng nên M, N, P, Q đồng phẳng.
Ở đây hai cặp điểm là (M, N) và (P, Q), đúng yêu cầu “hai cặp rời nhau”. Hơn nữa MQ // BD // NP nên MNPQ là hình bình hành.
Ví dụ 2. Chứng minh MP, NQ, IJ đồng quy
Giải. MNPQ là hình bình hành (ví dụ 1) nên hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường. Ta cần chứng minh G thuộc IJ.
- MJ là đường trung bình của tam giác ABD nên MJ // AD và MJ = AD/2.
- IP là đường trung bình của tam giác ACD nên IP // AD và IP = AD/2.
- Suy ra MJ // IP và MJ = IP, nên MJPI là hình bình hành. Hai đường chéo MP và IJ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Trung điểm của MP chính là G. Vậy G cũng là trung điểm của IJ, tức G thuộc IJ. Do đó MP, NQ, IJ đồng quy tại G. Kết quả này cho thấy ba đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối của tứ diện có chung một trung điểm.
Ví dụ 3. Dùng giao tuyến của ba mặt phẳng
Đề. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA (không trùng đỉnh) và cùng thuộc một mặt phẳng (α). Giả sử MN cắt PQ tại I. Chứng minh MN, PQ, AC đồng quy.
Giải. Xét ba mặt phẳng (ABC), (ACD), (α).
- (ABC) ∩ (ACD) = AC.
- (ABC) ∩ (α) = MN, vì M, N thuộc cả hai mặt phẳng.
- (ACD) ∩ (α) = PQ, vì P, Q thuộc cả hai mặt phẳng.
Hai giao tuyến MN và PQ cắt nhau tại I nên không thể song song. Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ba giao tuyến MN, PQ, AC đồng quy tại I. Nói cách khác, I thuộc đường thẳng AC.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Chứng minh bốn điểm M, N, C, D đồng phẳng.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, AC ∩ BD = O. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ (khác đỉnh). Biết A’C’ cắt B’D’ tại I. Chứng minh S, I, O thẳng hàng.
Bài 3. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D mà AB cắt CD. Bốn điểm đó có đồng phẳng không? Nếu bốn điểm không đồng phẳng thì có thể có ba điểm thẳng hàng không?
Đáp án gợi ý
Bài 1. MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB. Mà AB // CD (đáy là hình bình hành) nên MN // CD. Hai đường song song MN và CD xác định một mặt phẳng, vậy M, N, C, D đồng phẳng.
Bài 2. Xét ba mặt phẳng (SAC), (SBD), (α). Ta có (SAC) ∩ (SBD) = SO; (SAC) ∩ (α) = A’C’; (SBD) ∩ (α) = B’D’. Vì A’C’ ∩ B’D’ = I nên ba giao tuyến SO, A’C’, B’D’ đồng quy tại I, tức I thuộc SO. Vậy S, I, O thẳng hàng.
Bài 3. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau nên cùng nằm trong một mặt phẳng, do đó A, B, C, D đồng phẳng. Còn nếu có ba điểm thẳng hàng thì bốn điểm luôn đồng phẳng. Vậy bốn điểm không đồng phẳng thì không có ba điểm nào thẳng hàng.
Tổng kết và tài liệu ôn thêm
- Bốn điểm đồng phẳng: tìm hai đường thẳng đi qua hai cặp điểm rời nhau, rồi chứng minh chúng song song hoặc cắt nhau.
- Ba đường thẳng đồng quy: chứng minh điểm chung của hai đường thuộc đường thứ ba, hoặc dùng ba mặt phẳng với hai giao tuyến cắt nhau.
- Luôn ghi rõ lí do cho từng quan hệ song song hoặc giao tuyến, vì điểm số nằm ở các bước lập luận này.
Các bài nên học tiếp để nắm vững chương:
- Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- 29 câu trắc nghiệm Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- 50 bài tập Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
- Cách chứng minh hai mặt phẳng song song
Câu hỏi thường gặp
4 điểm đồng phẳng là gì?
Bốn điểm đồng phẳng là bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Nếu không có mặt phẳng nào chứa cả bốn điểm thì chúng không đồng phẳng và là bốn đỉnh của một tứ diện.
Làm thế nào để chứng minh 4 điểm đồng phẳng?
Chọn hai đường thẳng, mỗi đường đi qua hai điểm trong bốn điểm (hai cặp khác nhau), rồi chứng minh chúng song song hoặc cắt nhau. Khi đó hai đường xác định một mặt phẳng chứa cả bốn điểm.
Bốn điểm có ba điểm thẳng hàng thì có đồng phẳng không?
Có. Một đường thẳng và một điểm nằm ngoài nó luôn xác định một mặt phẳng, nên bốn điểm trong đó có ba điểm thẳng hàng luôn đồng phẳng.
Khi nào ba đường thẳng là đồng quy theo định lí giao tuyến của ba mặt phẳng?
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đồng quy hoặc đôi một song song. Chỉ cần hai giao tuyến cắt nhau là kết luận được ba đường đồng quy.