Chuyên đề Nhân đa thức với đa thức Toán 8: quy tắc, 7 ví dụ giải chi tiết và bài tập có đáp án
Lớp 8Toán

Chuyên đề Nhân đa thức với đa thức Toán 8: quy tắc, 7 ví dụ giải chi tiết và bài tập có đáp án

Trả lời nhanh

Muốn nhân đa thức với đa thức, em nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng các tích lại và thu gọn các hạng tử đồng dạng: (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD. Ví dụ: (3x − 2)(x2 + 4x − 5) = 3x3 + 10x2 − 23x + 10. Bài tập nhân đa thức với đa thức thường gặp 5 dạng: thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến, tìm x và chứng minh đẳng thức hoặc tính chia hết.

Kiến thức cần nhớ về nhân đa thức với đa thức

Quy tắc

Cho hai đa thức A và B. Để tính tích A·B, em lấy lần lượt từng hạng tử của A nhân với tất cả các hạng tử của B, sau đó cộng các kết quả lại. Nếu A có m hạng tử và B có n hạng tử thì trước khi thu gọn sẽ có đúng m × n tích riêng. Đây là cách kiểm tra nhanh xem em có bỏ sót tích nào không.

Công thức tổng quát với hai nhị thức:

(A + B)(C + D) = A·C + A·D + B·C + B·D

Ba quy tắc nhỏ đi kèm

  • Quy tắc dấu: cùng dấu thì tích mang dấu “+”, khác dấu thì tích mang dấu “−”. Ví dụ (−2x)·(−3) = 6x, còn (−2x)·5x = −10x2.
  • Nhân lũy thừa cùng cơ số: xm·xn = xm+n. Ví dụ 4x2·3x3 = 12x5.
  • Thu gọn: chỉ cộng các hạng tử đồng dạng (cùng phần biến, cùng số mũ). Ví dụ −2x2 + 12x2 = 10x2, nhưng 3x3 và 10x2 không cộng được.

Cách trình bày bằng bảng (cách lưới)

Khi đa thức có nhiều hạng tử, em có thể kẻ bảng: hàng đầu ghi các hạng tử của đa thức thứ hai, cột đầu ghi các hạng tử của đa thức thứ nhất, mỗi ô là một tích riêng. Bảng dưới đây tính (3x − 2)(x2 + 4x − 5):

× x2 4x −5
3x 3x3 12x2 −15x
−2 −2x2 −8x 10

Cộng các ô theo từng bậc: bậc 3 có 3x3; bậc 2 có 12x2 − 2x2 = 10x2; bậc 1 có −15x − 8x = −23x; hằng số là 10. Vậy tích bằng 3x3 + 10x2 − 23x + 10. Có 2 × 3 = 6 ô, đúng bằng số tích riêng cần tính.

Phương pháp giải các dạng bài tập nhân đa thức với đa thức

Dạng bài Cách làm
1. Thực hiện phép nhân Áp dụng quy tắc, sắp xếp kết quả theo lũy thừa giảm dần của biến.
2. Rút gọn rồi tính giá trị Nhân, thu gọn trước; chỉ thay số vào biểu thức đã rút gọn để tránh tính toán dài.
3. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến Rút gọn đến khi chỉ còn một hằng số (mọi hạng tử chứa biến triệt tiêu).
4. Tìm x Nhân, chuyển vế, thu gọn; thường các hạng tử x2 triệt tiêu và còn phương trình bậc nhất.
5. Chứng minh đẳng thức, chia hết Biến đổi một vế thành vế kia; với bài chia hết, rút gọn rồi đưa về dạng k·(số chia).

Mẹo quan trọng: khi trước một tích có dấu “−”, hãy nhân xong rồi đặt cả kết quả trong ngoặc, sau đó mới phá ngoặc và đổi dấu tất cả hạng tử. Phần lớn lỗi sai trong dạng 2, 3, 4 đều do bỏ qua bước này.

Ví dụ có lời giải chi tiết

Ví dụ 1. Nhân hai nhị thức có hai biến

Tính (x + 2y)(x2 − 2xy + 4y2).

Lời giải: (x + 2y)(x2 − 2xy + 4y2) = x3 − 2x2y + 4xy2 + 2x2y − 4xy2 + 8y3 = x3 + 8y3.

Nhận xét: bốn hạng tử ở giữa triệt tiêu từng cặp. Đây chính là hằng đẳng thức tổng hai lập phương A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2) với A = x, B = 2y.

Ví dụ 2. Nhân ba đa thức

Tính (x − 1)(x + 2)(x + 3).

Lời giải: Nhân hai thừa số đầu trước: (x − 1)(x + 2) = x2 + 2x − x − 2 = x2 + x − 2.

Nhân tiếp với (x + 3): (x2 + x − 2)(x + 3) = x3 + 3x2 + x2 + 3x − 2x − 6 = x3 + 4x2 + x − 6.

Kiểm tra nhanh bằng cách thay x = 1: vế trái bằng 0·3·4 = 0, vế phải bằng 1 + 4 + 1 − 6 = 0. Khớp.

Ví dụ 3. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

Cho A = (2x − 3)(x + 4) − (x − 1)(2x + 5). Tính giá trị của A tại x = −2.

Lời giải:

  • (2x − 3)(x + 4) = 2x2 + 8x − 3x − 12 = 2x2 + 5x − 12.
  • (x − 1)(2x + 5) = 2x2 + 5x − 2x − 5 = 2x2 + 3x − 5.
  • A = (2x2 + 5x − 12) − (2x2 + 3x − 5) = 2x − 7.

Tại x = −2: A = 2·(−2) − 7 = −11.

Ví dụ 4. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

Chứng minh B = (x + 3)(x2 − 3x + 9) − (x − 2)(x2 + 2x + 4) có giá trị không phụ thuộc vào x.

Lời giải: (x + 3)(x2 − 3x + 9) = x3 − 3x2 + 9x + 3x2 − 9x + 27 = x3 + 27.

(x − 2)(x2 + 2x + 4) = x3 + 2x2 + 4x − 2x2 − 4x − 8 = x3 − 8.

Do đó B = (x3 + 27) − (x3 − 8) = 35. Kết quả là hằng số nên B không phụ thuộc vào x.

Ví dụ 5. Tìm x

Tìm x, biết (x + 2)(x − 3) − (x − 1)(x + 4) = 8.

Lời giải: (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6 và (x − 1)(x + 4) = x2 + 3x − 4.

Vế trái: (x2 − x − 6) − (x2 + 3x − 4) = −4x − 2. Ta có −4x − 2 = 8, suy ra −4x = 10, vậy x = −5/2.

Thử lại với x = −2,5: (−0,5)(−5,5) − (−3,5)(1,5) = 2,75 + 5,25 = 8. Đúng.

Ví dụ 6. Chứng minh tính chia hết

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, biểu thức C = (n + 2)(n + 3) − (n − 1)(n − 2) chia hết cho 4.

Lời giải: (n + 2)(n + 3) = n2 + 5n + 6; (n − 1)(n − 2) = n2 − 3n + 2.

C = (n2 + 5n + 6) − (n2 − 3n + 2) = 8n + 4 = 4(2n + 1). Vì 2n + 1 là số nguyên nên C chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.

Ví dụ 7. Tìm hệ số chưa biết

Tìm a để tích (x2 + ax + 1)(x − 2) không chứa hạng tử x2.

Lời giải: (x2 + ax + 1)(x − 2) = x3 − 2x2 + ax2 − 2ax + x − 2 = x3 + (a − 2)x2 + (1 − 2a)x − 2.

Tích không chứa x2 khi hệ số a − 2 = 0, tức là a = 2. Khi đó tích bằng x3 − 3x − 2.

Bài tập nhân đa thức với đa thức tự luyện (có đáp án)

Em tự làm ra nháp rồi mới đối chiếu với đáp án ở cuối mỗi bài.

  1. Tính (x + 4)(x − 5). Đáp án: x2 − x − 20.
  2. Tính (2x − 1)(3x + 2). Đáp án: 6x2 + x − 2.
  3. Tính (x2 − 2x + 3)(x + 1). Đáp án: x3 − x2 + x + 3.
  4. Tính (x − 2y)(x + 2y). Đáp án: x2 − 4y2.
  5. Tính (x + 1)(x + 2)(x − 3). Đáp án: x3 − 7x − 6.
  6. Chứng minh (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3. Gợi ý: nhân vế trái, các hạng tử a2b và ab2 triệt tiêu.
  7. Chứng minh (x − 1)(x3 + x2 + x + 1) = x4 − 1. Gợi ý: sau khi nhân, các hạng tử x3, x2, x triệt tiêu từng cặp.
  8. Tính giá trị của D = (x − 3)(x2 + 3x + 9) tại x = 2. Đáp án: D = x3 − 27 = −19.
  9. Chứng minh E = (x − 4)(2x + 5) − 2x(x − 1) + x + 1 không phụ thuộc vào x. Đáp án: E = −19.
  10. Tìm x, biết (x + 3)(x − 1) − x(x + 4) = 6. Đáp án: −2x − 3 = 6 nên x = −9/2.
  11. Tìm x, biết (2x + 1)(x − 3) − (x + 2)(2x − 1) = 11. Đáp án: −8x − 1 = 11 nên x = −3/2.
  12. Rút gọn (x − y)(x2 + xy + y2). Đáp án: x3 − y3.

Lỗi sai thường gặp và cách tránh

  • Quên đổi dấu sau dấu trừ: viết −(x − 1)(2x + 5) = −2x2 + 3x − 5 là sai, vì chỉ đổi dấu hạng tử đầu. Đúng phải là −2x2 − 3x + 5.
  • Cộng nhầm số mũ thành nhân: x2·x3 = x5, không phải x6.
  • Bỏ sót tích riêng: đếm số tích bằng m × n trước khi thu gọn, hoặc dùng cách kẻ bảng.
  • Thu gọn hạng tử không đồng dạng: 2x2 và 2x là hai hạng tử khác bậc, không cộng thành 4x3 hay 4x2.
  • Không thử lại: thay một giá trị dễ tính như x = 1 hoặc x = 0 vào cả biểu thức ban đầu và kết quả để kiểm tra. Nếu hai giá trị khác nhau, chắc chắn có chỗ sai.

Khi đã thành thạo quy tắc này, em sẽ thấy các hằng đẳng thức đáng nhớ như (A + B)2, (A − B)2, A2 − B2 hay A3 ± B3 thực chất chỉ là kết quả của phép nhân đa thức với đa thức được viết gọn lại, giúp tính nhanh hơn ở các bài sau.

Câu hỏi thường gặp

Quy tắc nhân đa thức với đa thức là gì?

Nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại, sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng.

Nhân đa thức với đa thức học ở bài nào lớp 8?

Nội dung này nằm trong phần phép nhân đa thức ở chương đầu Toán 8, ngay trước các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Làm sao biết mình không bỏ sót tích nào khi nhân đa thức?

Đa thức m hạng tử nhân đa thức n hạng tử cho đúng m × n tích riêng trước khi thu gọn. Kẻ bảng nhân giúp kiểm soát số tích này.

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến làm thế nào?

Em nhân và rút gọn biểu thức. Nếu mọi hạng tử chứa biến triệt tiêu và kết quả chỉ còn một hằng số thì biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Kiểm tra kết quả phép nhân đa thức nhanh bằng cách nào?

Thay một giá trị dễ tính, chẳng hạn x = 1, vào biểu thức ban đầu và kết quả. Nếu hai giá trị bằng nhau thì kết quả nhiều khả năng đúng.

Bài học liên quan