Lời giải:

Ta có

+) 24x⁴y³ : 12x³y³ = (24 : 12).(x⁴ : x³).(y³ : y³) = 2x nên A sai

+) 18x⁶y⁵ : (-9x³y³) = (18 : (-9)).(x⁶ : x³).(y⁵ : y³)= -2x³y² nên B sai

+) 40x⁵y² : (-2x⁴y²) = (40 : (-2)).(x⁵ : x⁴).(y² : y²) = -20x nên C đúng

+) 9a³b⁴x⁴ : 3a²b²x² = (9 : 3).(a³ : a²).(b⁴ : b²).(x⁴ : x²) = 3ab²x² nên D sai

Đáp án cần chọn là: C

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Làm tính chia:

a) x¹⁰ : (-x)⁸;

b) (-x)⁵ : (-x)³;

c) (-y)⁵ : (-y)⁴.

Lời giải:

a) x¹⁰ : (-x)⁸ = x¹⁰ : x⁸ = x¹⁰ – 8 = x²

b) (-x)⁵ : (-x)³= (-x)⁵ – 3 = (-x)² = x²

c) (-y)⁵ : (-y)⁴ = (-y)⁵ – 4 = -y

Bài 2: Chứng mình rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến y (x≠0; y≠0) với biểu thức đó là A = $\frac{2}{3}$x²y³:(- $\frac{1}{3}$xy) + 2x(y - 1)(y + 1)

Lời giải:

Ta có A = $\frac{2}{3}$x²y³:($-\frac{1}{3}$xy) + 2x(y - 1)(y + 1) = - 2x² - 1y³ - 1 + 2x(y - 1)(y + 1)

= - 2xy² + 2x(y² - 1) = - 2xy² + 2xy² - 2x = - 2x

⇒ Giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến y.

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức 15x⁴y³z² : 5xy²z² với x = 2, y = -10, z = 2004

Lời giải:

15x⁴y³z² : 5xy²z² với x = 2, y = -10, z = 200

Ta có 15x⁴y³z² : 5xy²z² = 3 . x⁴ – 1 . y³ – 2 . z² – 2 = 3x³y

Tại x = 2, y = -10, z = 2004

Ta được: 3 . 2³(-10) = 3 . 8 . (-10) = -240.

Bài 4: Làm tính chia:

a, x²yz : xyz

b, x³y⁴ : x³y

Lời giải:

a, x²yz : xyz = (x² : x)(y : y)(z : z) = x

b, x³y⁴ : x³y = (x³ : x³)(y⁴ : y) = y³

Bài 5: Tìm số tự nhiên n để mỗi phép chia sau là phép chia hết:

a, x⁴ : xⁿ

b, xⁿ : x³

c, 5xⁿy³ : 4x³y²

d, xⁿyⁿ⁺¹ : x²y⁵

Lời giải:

a, x⁴ : xⁿ = x^4-n là phép chia hết nên 4 – n ≥ 0 ⇒ 0 ≤ n ≤ 4

suy ra: n ∈ {0; 1; 2; 3; 4}

b, xⁿ : x³ = x^{n- 3} là phép chia hết nên n – 3 ≥ 0 ⇒ n ≥ 3

c, 5xny³ : 4x³y² = 54 (xⁿ : x²)(y³ : y²) = 54 x^n-2 là phép chia hết

Suy ra: n – 2 ≥ 0 ⇒ n ≥ 2

d, xⁿy^{n + 1} : x²y⁵ = (xⁿ : x²)(yⁿ⁺¹ : y⁵) = x^n-2.y^n-4 là phép chia hết

suy ra: n – 4 ≥ 0 ⇒ n ≥ 4

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

(- x²y⁵)² : (- x²y⁵) tại x = $\frac{1}{2}$ và y = - 1

Lời giải:

Ta có: (- x²y⁵)² : (- x²y⁵) = - x²y⁵

Thay x = $\frac{1}{2}$ và y = - 1 vào biểu thức ta được:

-($\frac{1}{2}$)².(-1)5 = -$\frac{1}{4}$ .(-1) =$\frac{1}{4}$

Bài 7: Giá trị của biểu thức A = (xy²)³:(xy)³ tại x= -1, y =1 là?

Lời giải:

Ta có A = (xy²)³:(xy)³ = (x³y⁶):(x³y³) = y³.

Với x= -1, y =1 ta có A = 1³ = 1.

Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) P = 12x⁴y²:(- 9xy²) tại x= -3, y= 1,005.

b) Q = 3x⁴y³:2xy² tại x= 2, y= 1.

Lời giải:

a) Ta có P = 12x⁴y²:(- 9xy²) = $\frac{1}{2}$ - 9x⁴ - 1y² - 2 = - $\frac{4}{3}$x³

Với x= -3, y= 1,005 ta có P = - $\frac{4}{3}$(- 3)³ = 36.

Vậy P = 36

b) Ta có Q = 3x⁴y³:2xy² = $\frac{3}{2}$x⁴ - 1y³ - 2 = $\frac{3}{2}$x³y.

Với x= 2, y= 1 ta có Q = $\frac{3}{2}$( 2 )³.1 = 12.

Vậy Q = 12

Bài 9: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức P = 15x⁴y² : (-3xy²) tại x = -2, y = 1.

Lời giải:

Ta có: P = 15x⁴y² : (-3xy²) = -5x³y⁰ = -5x³ (Lưu ý: y⁰ = 1)

Thay x = -2, y = 1 ta được:

P = -5.(-2)³ = -5. (-8) = 40

Bài 10: Tính giá trị của biểu thức 32x⁶y⁵z¹⁰ : 8x⁴y³z¹⁰ với x = 3, y = 2, z = 1996

Lời giải:

32x⁶y⁵z¹⁰ : 8x⁴y³z¹⁰

= 4x^6-4y^5-3z^10-10

= 4x²y²

= 4.3².2²

=144

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Làm phép tính chia các biểu thức sau:

a) 4³ : (-4)²;

b) ($\frac{3}{4}$)⁵: ($\frac{3}{4}$)³

c) (-12)³ : 8³.

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phép chia sau là phép chia hết:  4xⁿyⁿ⁺¹ : 3x⁴y⁶.

Bài 3: Chia đơn thức (-3x)⁵ cho đơn thức (-3x)² ta được kết quả là?

Bài 4: Giá trị số tự nhiên n để phép chia xⁿ : x⁶ thực hiện được là?

Bài 5: Tìm điều kiện của số tự nhiên n (n > 0) để đơn thức B = 4x⁴y⁴ chia hết đơn thức C = x^n-1y⁴ là?

Bài 6: Rút gọn biểu thức: A = 2¹⁰ : (-2)⁵.

Bài 7: Tính x¹⁷ : (-x)⁸

Bài 8: Tìm số tự nhiên n (n>0) để A chia hết cho B?

A = 4x⁴y⁴ ,  B = x^n-1y⁴ 

Bài 9: Tìm n thuộc N* để 15xⁿ⁺²y⁸ chia hết cho x⁸yⁿ?

Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức A = (-15x³y⁶) : (-5xy²) không âm với mọi giá trị của biến.

B. Lý thuyết Chia đơn thức cho đơn thức.

Khái niệm: Cho A và B là hai đơn thức, B ≠ 0. 

Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được một đơn thức Q sao cho 

A = B.Q

A được gọi là đơn thức bị chia, B được gọi là đơn thức chia, Q được gọi là đơn thức thương.

Kí hiệu: Q = A : B hoặc $Q=\frac{A}{B}$.

Nhận xét: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Chú ý: Với mọi x ≠ 0, m, n ∈ ℕ, m ≥ n thì

x^m : xⁿ = x^{m – n}  nếu m > n

x^m : xⁿ = 1 nếu m = n. 

Ví dụ:

a) 15x²y⁵z : 5xy³z = (15 : 5)(x² : x)(y⁵ : y³)(z : z) = 3xy².

b) 35x⁵y² : (−7x⁴y) =[35 : (−7)](x⁵ : x⁴)(y² : y) = −5xy.