§7. Đa thức một biến

§8. Cộng trừ đa thức một biến

Nội dung

Đáp án

Cho hai đa thức  :  A = x² – 2y – y² + 1 – x

                                B = y² + 2y + x² + 1 – x

Tính C = A + B; D = A – B                                               

a) C = 2x² – 2x + 2      (5đ)

b) D = – 2y² – 4y + 2   (5đ)

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

ĐVĐ: Thông qua kết quả KTBC hãy nêu nhận xét về số biến trong đa thức C và D.

Gv giới thiệu: Đó là đa thức một biến, vậy đa thức một biến là gì?

 Đa thức C và D chỉ có một biến x hoặc y.

Hs nêu dự đoán.

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

+2 nhóm viết 1 đa thức chỉ có chứa biến x

+2 nhóm viết 1 đa thức chỉ có chứa biến y

Đại diện 2 nhóm lên bảng

GV Nhận xét , đánh giá, chốt kiến thức

+  Đây là các đa thức một biến, vậy đa thức một biến là gì?

+  Vậy vì sao mỗi số gọi là đa thức một biến  ?

Hs : Mỗi số gọi là đa thức một biến

( 5  = 2 + 3 = 2x⁰ + 3x⁰)

Gv :  Để kí hiệu cho đa thức một biến, người ta dùng chữ cái in hoa và kèm theo biến của nó.

Vd : A(x) (A là đa thức của biến x )

        B(y) (B là đa thức của biến y )

và khi đó giá trị của đa thức A(x) tại  x = 1 ta viết A(1), …

- Làm ?1 , ?2

2 HS làm ?1, 1 HS đứng tại chỗ trả lời ?2

GV Nhận xét , đánh giá, chốt kiến thức

1.Đa thức một biến.

Ví dụ: A = 3x⁴-x²+ 3x – 1 là đa thức của biến x

B = y³– y² + 2y + 4 là đa thức của biến  y

Định nghĩa(sgk/41)

Ký hiệu

A(x) : A là đa thức của biến x

B(y) : A là đa thức của biến y

A(1) là giá trị  của đa thức A(x) tại x = 1

 ?1,(sgk/41)

A(5) = 7.5² – 3.5 += 7.25 – 15 + =

B(2) = 2x⁵ – 3x + 7x³ + 4x⁵ +

= 6x⁵ – 3x + 7x³ +  = 6.2⁵ – 3.2+ 7.2³ +     

= 192 – 6 + 56 + =

?2 (sgk/41)

Đa thức : A(y) bậc 2 , A(x) bậc 5

Định nghĩa bậc của đa thức một biến (sgk/41)

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv: Đưa ra  ví dụ

2 Hs lên bảng

+ Trước khi sắp xếp đa thức một biến ta phải  làm gì ?

Hstl , gv chốt lại  Chú ý

Gv : Yêu cầu hs làm ? 3 , ? 4 

- Tìm bậc  của đa thức Q(x) và R(x) ?

Gv: Các đa thức bậc hai đều có dạng

ax² + bx + c trong đó a, b, c là hằng số, a0

Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vu của HS

GV chốt lại kiến thức

2. Sắp xếp một đa thức

Ví dụ

P(x) = 5x + 3 – 7x² + x³ + 3x⁴

Hãy sắp xếp đa thức trên theo 2 cách

Giải

- Theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến

P(x) = 3x⁴+ x³ – 7x² + 5x + 3

- Theo thứ tự lũy thừa tăng dần của biến.

P(x) = 3  + 5x– 7x² + x³ + 3x⁴

Chú ý(sgk/42)

?4(sgk/42)

Q(x) = 4x³- 2x +5x² -2x³ +1-2x³ = 5x²- 2x +1

R(x) = -x²+ 2x⁴ +2x -3x⁴ -10 +x⁴ = -x² + 2x – 10.

Chú ý (sgk)

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv: Đưa ra ví dụ: Xét đa thức:

P(x) = 6x⁵ + 7x³ – 3x + 1/2

+  Đa thức P(x) đã thu gọn chưa?

+ Đọc các hạng tử của đa thức?

+ Đọc phần hệ số của các hạng tử đó?

+  Tìm bậc của đa thức?

+  Hệ số của lũy thừa cao nhất là bao nhiêu?

Gv : 1/2 còn gọi là hệ số tự do

P(x) có bậc 5 nên hệ số của lũy thừa bậc 5 gọi là hệ số cao nhất

Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vu của HS

GV chốt lại kiến thức Giới thiệu chú ý

+  Xác định hệ số của lũy thừa bậc 4 và bậc 2?

3. Hệ số

 Ví  dụ

P(x) = 6x⁵ + 7x³ – 3x + 1/2

Ta có :

6 là hệ số của lũy thừa bậc 5

7  là hệ số của lũy thừa bậc 3                                       

 3 là hệ số của lũy thừa bậc 1

1/2 là hệ số của lũy thừa bậc 0

Trong đó :

6 là hệ số cao nhất

1/2 là hệ số tự do                                                                             

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

NỘI DUNG

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv tổ chức cho Hs làm bài tập 39 sgk.

Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vu của HS

GV chốt lại kiến thức

Ta có P(x) = 2 + 5x² – 3x³ + 4x² – 2x – x³ + 6x⁵.

a) Thu gọn P(x) = 2 + 9x² – 4x³ – 2x + 6x⁵

Sắp xếp theo thứ tự giảm của biến:

P(x) = 6x⁵ – 4x³ + 9x² – 2x + 2

b) Hệ số lũy thừa bậc 5 là 6

Hệ số lũy thừa bậc 3 là -4             

Hệ số lũy thừa bậc 2 là 9

Hệ số lũy thừa bậc 1 là -2             

Hệ số lũy thừa bậc 0 là 2.

Nội dung

Đáp án

Điểm

Hs làm bài   40

a)                       

b) Hệ số của luỹ thừa bậc 6 là -5              

 ...................                                              

Hệ số tự do là -1                                  

4đ

1đ

4đ

1đ

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

H: Nêu cách cộng, trừ hai đa thức.

ĐVĐ: cách cộng, trừ hai đa thức có thể áp dụng với đa thức một biến không?

Hs nêu như sgk

Hs nêu dự đoán

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

Xét ví dụ : Cho hai đa thức:

P(x) = 2x⁵ + 5x⁴ – x³ +x² – x – 1

Q(x) = -x⁴ + x³ + 5x + 2

Tính : P(x) + Q(x)

Gv: Yêu cầu hs thực hiện giống như cộng hai đa thức đã học(bài 6)

Gv: Đây là cách cộng thứ nhất, ngoài cách 1 ta còn có cách cộng khác giống như cộng 2 số đã học ở lớp dưới.

Gv thông báo cho hs qui tắc cộng theo cột dọc : đặt đa thức Q(x) dưới đa thức P(x) sao cho các hạng tử đồng dạng cùng nằm trên một cột và thực hiện phép cộng hai đa thức trên

Hướng dẫn hs cộng theo cột

+ So sánh hai kết quả và rút ra nhận xét ?

Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vu của HS

GV chốt lại kiến thức

1: Cộng hai đa thức một biến

Ví dụ (sgk/44)

Cho hai đa thức:

P(x) = 2x⁵ + 5x⁴ – x³ +x² – x – 1

Q(x) = -x⁴ + x³ + 5x + 2

 Cách 1

P(x) + Q(x) =

= (2x⁵ + 5x⁴ – x³ +x² – x – 1) + (-x⁴ + x³ + 5x + 2)

= 2x⁵ + 5x⁴ – x³ +x² – x – 1 + -x⁴ + x³ + 5x + 2

= 2x⁵ + 4x⁴ +  x² + 4x + 1

Cách 2

       P(x) = 2x⁵ + 5x⁴ – x³ +x²–x   – 1

      Q(x) =         - x⁴ + x³       + 5x + 2

P(x) + Q(x) = 2x⁵ + 4x⁴ +  x² + 4x + 1.

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

Cũng với hai đa thức P(x) và Q(x) ở trên, yêu cầu hs tính P(x) - Q(x) 

+ Yêu cầu hs nêu quy tắc bỏ dấu ngoặc?

P(x) -  Q(x) theo hai cách

Hs₁ : tính cách 1

Hs₂ : Đặt phép trừ theo cột.

Gv: Hướng dẫn: Đổi dấu các hạng tử ở đa thức trừ rồi thực hiện phép cộng

+ Để thực hiện phép cộng, trừ 2 đa thức một biến có thể thực hiện theo mấy cách, nêu cách là mỗi cách?

Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vu của HS

GV chốt lại kiến thức

2. Trừ hai đa thức một biến

Ví dụ (sgk/44)

Tính P(x) -  Q(x)

Cách 1

P(x) -  Q(x) 

= 2x⁵ + 6x⁴ – 2x³+ x² – 6 x – 3

Cách 2 (sgk/44)

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv:Đưa ra ví dụ  ?1 (sgk/45) ( M3)

Cho hai đa thức

M(x) = x⁴ + 5x³ – x² +x – 0,5

N(x) = 3x⁴ – 5x² – x – 2,5

Tính : M(x) -  N(x)

Yêu cầu Hs tính bằng 2 cách

Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vu của HS

GV chốt lại kiến thức

Cách 1

M(x) - N(x) = x⁴ + 5x³ – x² +x – 0,5 - 3x⁴ + 5x² + x + 2,5

=  x⁴ - 3x⁴ + 5x³ – x² + 5x² +x+ x – 0,5 + 2,5

= - 2x⁴ + 5x³ + 4x² + 2x + 2

Cách 2

          M(x)      = x⁴ + 5x³ – x² + x – 0,5

           N(x)      = 3x⁴         –5x² –x – 2,5

M(x) -N(x) = -2x⁴ + 5x³ + 4x² +  2x + 2

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

H: - Nêu khái niệm đa thức một biến?

     - Nêu cách cộng, trừ đa thức một biến?

     - Nêu cách tính giá trị của đa thức một biến?

     - Nêu cách tìm bậc của đa thức một biến?

Hs lần lượt đứng tại chỗ trả lời như sgk

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv:Đưa ra bài 50

- Nêu  cách thu gọn đa thức?

Hstl :…, Nhận xét , gv ghi bảng

- Nêu  cách cộng, trừ đa thức một biến?

Hs₁ lên bảng tính  N + M

Hs₂ lên bảng tính  N -  M

Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vu của HS

GV chốt lại kiến thức

Bài 50(sgk/46)

a) Thu gọn các đa thức

   N          = -y⁵ + 11y³ – 2y

   M         = 8y⁵            – 3y  + 1

N + M   = 7y⁵ + 11y³ – 5y + 1

N          = -y⁵ + 11y³ – 2y

M         = 8y⁵            – 3y  + 1

N - M   = -9y⁵ + 11y³ +y   - 1

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv:Đưa ra bài 51

- Trước khi sắp xếp đa thức ta cần phải làm gì?

- Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến?

Hstl :…, Nhận xét, gv ghi bảng

Hs : Thảo luận nhóm

Đại diện 2 nhóm lên bảng trình bày

Đại diện nhóm khác nhận xét

- Tìm các hệ số khác 0  và bậc của đa thức tìm được trong 2 trường hợp?

Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vu của HS

GV chốt lại kiến thức

Baøi 51(sgk/46)

 P(x) = 3x²–2x²–5 +x⁴–x³–3x³ – x⁶ 

         = x² – 5 + x⁴ – 4x³ – x⁶

Q(x) = x³– 2x³ +2x⁵-x⁴ + x² + x – 1

        = - x³ + 2x⁵ – x⁴ + x² + x – 1

 Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

 P(x) = –5 + x² – 4x³ + x⁴– x⁶

Q(x)= –1+ x + x² - x³ – x⁴ + 2x⁵

a)

P(x)  =  –5 +         x² – 4x³+ x⁴          – x⁶

Q(x)  =   –1+  x + x² - x³   –x⁴ + 2x⁵

P+Q  =   -6 + x+2x²- 5x³       +2x⁵ –x⁶

b)

P(x)   =   –5  +         x² – 4x³ +  x⁴         – x⁶

Q(x)  =   –1  +  x  +  x² - x³  –  x⁴ +  2x⁵

P - Q = -4 – x  - 3x³   + 2x⁴    -2x⁵ –x⁶

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv: Đưa ra bài 52

- Tìm bậc của đa thức P(x) và các hệ số khác 0?

- Nêu kí hiệu giá trị của đa thức P(x) tại x = -1 ; 0 ; 4?

- Nêu cách tính giá trị của P(-1) ; P(0) P(4) ?

Hs₁  lên tính P(-1)

Hs₂  lên tính P(0)

Hs₃ lên tính  P(4)

Lớp theo dõi , Nhận xét

Lưu ý hs : (-1)²  -1²

Bài 52(sgk/46)

P(-1) = (-1)² - 2(-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = - 5

 P(0) =  0² - 2.0 - 8  = - 8

 P(4) =  4² - 2.4  - 8 =  0

Câu hỏi

Đáp án

Biểu điểm

Cho hai đa thức:

          M(x) = x⁴ + 3x³ - 2x² + 4 x - 5

           N(x) = 5x⁴ - 7x² + 3x - 2

Tính M(x) + N(x),  M(x) – N(x),

         N(x) – M(x)   

M(x)             = x⁴ + 3x³ - 2x² + 4 x - 5

N(x)              = 5x⁴         - 7x² + 3x – 2

M(x) + N(x) = 6x⁴ + 3x³ - 9x² + 7x – 7

M(x) – N(x) = -4x⁴ + 3x³ + 5x² + x – 3

N(x) – M(x) = 4x⁴ - 3x³ - 5x² -  x + 5

1đ

3đ

4đ

2đ

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

Cho đa thức : A(x) = 5x – 10. Tính : A(2)

ĐVĐ: tại x = 2  thì A(2) = 0 ta nói  x = 2 là nghiệm của đa thức A(x), vậy nghiệm của đa thức của đa thức là gì

Hs thực hiện phép tính

A(2) = 0

Hs nêu dự đoán

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv: Trở lại  ví dụ  giới thiệu bài

- Tại  x = 2 ta có  A(2) = 0 thì  x = 2 là nghiệm của đa thức A(x)

- Tổng quát : Khi nào số a là nghiệm của đa thức P(x)  ?

HS trả lời, GV Nhận xét , chốt kiến thức

 Định nghĩa

- Căn cứ định nghĩa , nêu cách kiểm tra số nào là nghiệm của đa thức đã cho  ?

HS trả lời

GV chốt lại kiến thức Số nào mà thay vào đa thức làm cho giá trị đa thức bằng 0   nghiệm

1.Nghiệm của đa thức một biến

Ví dụ

Cho đa thức : A(x) = 5x - 10

Tại  x  =  2

Ta có   A(2) = 0  ta nói  x = 2 là nghiệm của đa thức A(x)

Định nghĩa (sgk/47) 

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

Gv : Đưa ra ví dụ

- Em hãy nhẩm xem số nào là nghiệm của đa thức

a) A(x) =  x -  1       b) B(x) = x² – 4

Hstl   câu  a

GV: Nhận xét , gv ghi bảng

Hs  lên làm câu b 

- Cho đa thức C(x) = x² + 2

Hãy tìm nghiệm của đa thức G(x) ?

- Qua các ví dụ trên em có kết luận gì về  số nghiệm của một đa thức ?

Hstl :…, gv chốt lại  Chú ý

Gv : Đưa ra ?1, ?2 (sgk/48)

- Căn cứ định nghĩa và các ví dụ trên

Tông quát : Đa thức A(x) có nghiệm  A(x)  =  0   

 Ngược lại  : A(x) = 0  A(x) có nghiệm   

2.Ví dụ

a) x = 1 là nghiệm của đa thức A(x) =  x -  1  vì  A(1) = 0

b) x  = -2 và x  = 2 là các là nghiệm của đa thức B(x) = x² – 4 vì  B( 2) = 0

c)  Đa thức C(x) = x² + 2 không có nghiệm  vì  x²  0   với  x 

 x² + 2  2 > 0    

Vậy :  x² + 2  > 0    

NỘI DUNG

SẢN PHẨM

GV giao nhiệm vụ học tập.

- Làm bài 55/48 sgk

- Qua kiến thức trên có mấy cách tìm nghiệm của đa thức một biến  ?

HS trả lời, GV đánh giá, chốt kiến thức:

Có 2 cách:

Cách 1: Nhẩm tìm xem số nào làm cho đa thức bằng 0 thì đó là nghiệm. Trả lời rồi giải thích

Cách 2: Cho đa thức bằng 0, giải bài toán tìm x đó là nghiệm.

HS thảo luận theo cặp tìm nghiệm

2 HS lên bảng trình bày

GV nhận xét, đánh giá.

GV hướng dẫn trả lời câu b

Bài 55(sgk/48) 

a) Cách  1 :

 y = -2 là nghiệm của đa thức P(y) = 3y + 6  vì  P(-2) = 3(-2) + 6 = 0

Cách  2 : Cho P(y) = 0

 3y + 6 = 0

 3y  = - 6

  y   =  = - 3

 Vậy y = - 3 là nghiệm của đa thức P(y)

b) ) Đa thức C(y) = y² + 4 không có nghiệm  vì  y²  0   với  y 

 y² + 4  4 > 0    

Vậy :  y² + y  > 0