Với giải Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 1: Giới hạn của dãy số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Lời giải:

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Ta có: u₁ = 1.$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$; u₂ = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$; u₃ = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$; u₄ = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$; ...

Diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: $u_k={\left(\frac{1}{2}\right)}^k,\left(k=1,2,3,\mathrm{...}\right)$

b) Tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ta được:

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}.\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)$.

c) Ta có: limS_n = $\lim \left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=\lim 1-\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1$.

Khi đó limS_n = 2u₁.

Lý thuyết Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân (un) có công bội q thỏa mãn |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

S=u11−q(|q|<1)