Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

A. Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

I. Khái niệm mở đầu

1. Mặt phẳng

Hình ảnh mặt phẳng trong thực tiễn

- Biểu diễn một mặt phẳng: Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành.

- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa đặt trong dấu ngoặc ( ).

2. Điểm thuộc mặt phẳng

- Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu $A\in (P)$

- Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta kí hiệu $A\notin (P)$.

3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian

a, Khái niệm

Hình được vẽ trong mặt phẳng để giúp ta hình dung được về một hình trong không gian gọi là hình biểu diễn của hình không gian đó.

b, Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian

- Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng, đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng.

- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi 2 đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).

- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

II. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

- Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.

- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu $d\subset (P)$ hoặc $(P)\supset d$.

- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu $d=(P)\cap (Q)$.

- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

III. Một số cách xác định mặt phẳng

Cho điểm $A\notin d$. Khi đó qua điểm A và đường thẳng d có một và chỉ một mặt phẳng. Kí hiệu mp(A,d) hoặc (A,d).

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Khi đó, qua a và b có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(a,b).

IV. Hình chóp và hình tứ diện

1. Hình chóp

- Trong mặt phẳng (P), cho đa giác $A_1{A}_2...A_n$ $\left(n\ge 3\right)$ . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Nối S với các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$để được n tam giác $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$. Hình gồm đa giác  $A_1{A}_2...A_n$ và n tam giác  $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$ được gọi là hình chóp và kí hiệu là $S.A_1{A}_2...A_n$.

- Trong hình chóp $S.A_1{A}_2...A_n$:

+ Điểm S được gọi là đỉnh.

+ Đa giác$A_1{A}_2...A_n$ được gọi là mặt đáy.

+ Các tam giác $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$được gọi là các mặt bên

+ Các cạnh $S{A}_1,S{A}_2,...,S{A}_n$được gọi là cạnh bên; các cạnh$A_1{A}_2,A_2{A}_3...,A_n{A}_1$ được gọi là các cạnh đáy.

Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,…thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

2. Hình tứ diện

Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.

Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD,AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.

Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

B. Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SD. Gọi O là giao điểm AC và BD.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD).

b) Tìm giao điểm P của đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC).

c) Gọi Q và R lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R cùng nằm trên một mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

a) Trong (ABCD): O là giao điểm AC và BD.

Mà AC ⊂ (SAC) và BD ⊂ (SBD).

Do đó O cùng thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Mà S cùng thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Trong (ABCD): gọi E là giao điểm của AB và CD.

Mà AB ⊂ (SAB) và CD ⊂ (SCD).

Do đó E cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Mà S cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Vậy SE là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Trong (SBD): gọi P là giao điểm của SO và BN.

Mà SO ⊂ (SAC).

Vậy P là giao điểm của đường thẳng BN và mặt phẳng (SAC).

c) Trong (SCD): gọi T là giao điểm của MN và SE.

Tam giác SCD có M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác SCD.

Do đó MN // CD.

Xét tam giác SDE, có: MT // DE (chứng minh trên) và N là trung điểm SD.

Suy ra T là trung điểm SE.

Tương tự, ta có QR là đường trung bình của tam giác SAB.

Do đó QR // AB.

Xét tam giác SAE, có: QT // AE (chứng minh trên) và Q là trung điểm SA.

Suy ra QR đi qua trung điểm T của SE.

Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R cùng thuộc một mặt phẳng, mặt phẳng này là (QNT)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC.

a) Xác định giao điểm I của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD).

b) Xác định giao điểm J của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).

c) Chứng minh ba điểm I, J, B thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Trong (ABCD): gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong (SAC): gọi I là giao điểm của AN và SO.

Mà SO ⊂ (SBD).

Vậy I là giao điểm của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD).

b) Trong (ABCD): gọi E là giao điểm của MC và BD.

Trong (SMC): gọi J là giao điểm của MN và SE.

Mà SE ⊂ (SBD).

Vậy J là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).

c) Ta có ba điểm I, J, B lần lượt nằm trên các đường thẳng AN, MN, AM.

Suy ra ba điểm I, J, B đều thuộc mặt phẳng (AMN).

Mà ba điểm I, J, B đều thuộc (SBD).

Do đó ba điểm I, J, B đều nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SBD).

Vậy ba điểm I, J, B thẳng hàng.

Bài 3. Cho tứ diện S.ABC. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC và AB sao cho IJ không song song với BC, IK không song song với SA.

a) Tìm giao điểm D của mặt phẳng (IJK) và đường thẳng BC.

b) Gọi E là giao điểm của DK và AC. Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) Trong (SBC): gọi D là giao điểm của IJ và BC.

Mà IJ ⊂ (IJK).

Vậy D là giao điểm của mặt phẳng (IJK) và đường thẳng BC.

b) Trong (ABC): gọi F là giao điểm của IK và SA.

Mà IK ⊂ (IJK) và SA ⊂ (SAC).

Suy ra F đều thuộc hai mặt phẳng (IJK) và (SAC)   (1)

Lại có E là giao điểm của DK và AC.

Mà DK ⊂ (IJK) và AC ⊂ (SAC).

Suy ra E đều thuộc hai mặt phẳng (IJK) và (SAC)   (2)

Mặt khác, J là giao điểm của ID và SC.

Mà ID ⊂ (IJK) và SC ⊂ (SAC).

Suy ra J đều thuộc hai mặt phẳng (IJK) và (SAC)    (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra ba điểm F, E, J đều nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (IJK) và (SAC).

Khi đó ba điểm F, E, J thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy tại F.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song