Mẫu 3:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{1+3+5+5+3+7}{6}=4$

+) Phương sai $S^2=\frac{1}{6}\left(1^2+3^2+5^2+5^2+3^2+7^2\right)-4^2\approx 3,67$

+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}\approx 1,9$

Kết luận:

Số liệu ở mẫu 2 hơn số liệu ở mẫu 1 là 1 đơn vị, số trung bình của mẫu 2 hơn số trung bình mẫu 1 là 1 đơn vị, còn phương sai và độ lệch chuẩn là như nhau.

Số liệu ở mẫu 3 gấp 10 lần số liệu mẫu 1, số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 3 lần lượt gấp 10 lần, 100 lần và 10 lần mẫu 1.

Bài 5 trang 125 Toán lớp 10: Sản lượng lúa các năm từ 2014 đến 2018 của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị: nghìn tấn).

a) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.

b) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?

Phương pháp giải:

a)

+) Tình độ lệch chuẩn:

Bước 1:  Tìm số trung bình $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

Bước 2: Tính phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$ hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2\right)-{\overline{x}}^2$

=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$

+) Khoảng biến thiên = số liệu lớn nhất – số liệu nhỏ nhất

b)

So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn, tỉnh nào có khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì có sản lượng lúa ổn định hơn.

Lời giải:

a)

Tỉnh Thái Bình:

Số trung bình $\overline{x}=\frac{1061,9+1061,9+1053,6+942,6+1030,4}{5}=1030,08$

Phương sai$S^2=\frac{1}{5}\left(1061,9^2+1061,9^2+1053,6^2+942,6^2+1030,4^2\right)-1030,{08}^2=2046,2$

=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}\approx 45,2$

+) Khoảng biến thiên $R=1061,9-942,6=119,3$

Tỉnh Hậu Giang:

Số trung bình $\overline{x}=\frac{1204,6+1293,1+1231,0+1261,0+1246,1}{5}=1247,16$

Phương sai$S^2=\frac{1}{6}\left(1204,6^2+1293,1^2+1231,0^2+1261,0^2+1246,1^2\right)-1247,{16}^2=875,13$

=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}\approx 29,6$

+) Khoảng biến thiên $R=1293,1-1204,6=88,5$

b)

So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn ta đều thấy tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn.

Bài 6 trang 125 Toán lớp 10: Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.

b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Phương pháp giải:

a)

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

+) Mốt: là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu.

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

$Q_2=M_e=\{\begin{array}{l}{X}_{k+1}(n=2k+1)\\ \frac{1}{2}(X_k+X_{k+1})(n=2k)\end{array}$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$

Tính phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2\right)-{\overline{x}}^2$

b)

+) x là giá trị ngoại lệ nếu $x>Q_3+1,5.{\mathrm{\Delta }}_Q$ hoặc $x<Q_1-1,5.{\mathrm{\Delta }}_Q$

+) So sánh trung vị (do một mẫu có số liệu quá lớn so với các số liệu khác): nhà máy nào có trung vị lớn hơn thì có mức lương cao hơn.

Lời giải:

a)

* Nhà máy A:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng: $\overline{x_A}=\frac{4+5+5+47+5+6+4+4}{8}=10$.

+ Giá trị 4 và 5 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy A là 4 và 5.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q2A = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 4; 4; 4; 5. Do đó Q1A = 4.