20 câu Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

20 câu Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức 2024) có đáp án – Toán lớp 10

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 11-01-2024 Lớp 10

2.6 K

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Trắc nghiệm Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ sách Kết nối tri thức. Bài viết gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài trắc nghiệm Toán 10.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Câu 1. Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương.

A. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một góc tù;

B. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc bẹt;

C. Khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 0⁰;

D. Khi góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v}) .$

Vì $|\vec{u}| > 0, |\vec{v}| > 0$ nên dấu của $\vec{u} . \vec{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c os (\vec{u}, \vec{v})$ .

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) > 0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Câu 2. Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} ?$

A. $\vec{u} . \vec{v}$ = 0;

B. Góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0° hoặc 180°;

C. $\vec{u} . \vec{v}$ = 1;

D. Góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})$

$\Leftrightarrow {(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {[|\vec{u}| . |\vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} . c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v})$

Để ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2}$ thì $c {os}^{2} (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c os (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \\ c os (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{0} \\ (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0} \end{array}$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} .$

Câu 3. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a, b, c.

A. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ;

B. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4}$ ;

C. $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ;

D. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

16 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c os (\vec{A B} . \vec{A C}) = A B . A C . \cos B A C = b c . c osBAC$

Theo định lí cos, ta có:

$cosBAC= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\vec{A B} . \vec{A C} = b c . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} .$

Câu 4. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} (1; - 3), \vec{v} (\sqrt{7}; - 2)$ là k. Nhận xét nào sau đây đúng về giá trị của k.

A. k chia hết cho 2;

B. k là một số hữu tỉ;

C. k là một số nguyên dương;

D. k là một số vô tỉ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $k = \vec{u} . \vec{v} = 1. \sqrt{7} + (- 3) . (- 2) = \sqrt{7} + 6.$

Do đó k là số vô tỉ.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong trường hợp $\vec{a} (3; 1), \vec{b} (2; 4)$ .

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$

16 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{a} (1; - 1)$ và $\vec{b} (- 1; 1)$ .

B. $\vec{n} (1; 1)$ và $\vec{k} (2; 0)$ .

C. $\vec{u} (2; 3)$ và $\vec{v} (4; 6)$ .

D. $z (a; b)$ và $\vec{t} (- b; a)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 1) + (- 1) .1 = - 1 + (- 1) = - 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\vec{n} . \vec{k} = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \neq 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{n}, \vec{k}$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \neq 0.$ Suy ra hai vecto > $\vec{u}, \vec{v}$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\vec{z} . \vec{t} = a . (- b) + b . a = - a b + a b = 0.$ Suy ra hai vecto $\vec{z}, \vec{t}$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Câu 7. Góc giữa vectơ $\vec{a} (- 1; - 1)$ và vecto $\vec{b} (- 1; 0)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (- 1) . (- 1) + (- 1) .0 = 1, |\vec{a}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}, |\vec{b}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2}} = 1.$

$\Rightarrow c o s (\vec{a} . \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{a} . \vec{b}) = 45 ° .$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là 45°.

Câu 8. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a và A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 45^{0} .$

B. $(\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{0}$ và $\vec{A C} . \vec{B C} = a^{2} .$

C. $\vec{A C} . \vec{B D} = a^{2} \sqrt{2} .$

D. $\vec{B A} . \vec{B D} = - a^{2} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a $\sqrt{2}$ .

Ta có $\vec{A B} (a; 0)$ , $\vec{B D} (- a; a)$ , $\vec{A C} (a; a)$ , $\vec{B C} (0; a)$ , $\vec{B A} (- a; 0)$ .

Khi đó:

+) $\vec{A B} . \vec{B D} = a . (- a) + 0. a = - a^{2}$

$\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A B} . \vec{B D}}{|\vec{A B}| . |\vec{B D}|} = \frac{- a^{2}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B D}) = 135^{0} .$ Do đó A sai.

+) $\vec{A C} . \vec{B C}$ > = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{B C}) = \frac{\vec{A C} . \vec{B C}}{|\vec{A C}| . |\vec{B C}|} = \frac{a^{2}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{0} .$ Do đó B đúng

+) $\vec{A C} . \vec{B D} = a . (- a) + a . a = 0$ . Do đó C sai.

+) $\vec{B A} . \vec{B D}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Câu 9. Khi nào thì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc?

A. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 1;

B. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = - 1;

C. $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0;

D. a.b = -1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc khi $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1; 3), B(0; 4) và C(2x – 1; 3x²). Tổng các giá trị của x thỏa mãn $\vec{A B} . \vec{A C} = 2$

A. $\frac{- 2}{3}$ ;

B. $\frac{- 8}{3}$ ;

C. $\frac{- 5}{3}$ ;

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có: $\vec{A B} (1; 1), \vec{A C} (2 x; 3 x^{2} - 3)$ .

Khi đó: $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - \frac{5}{3} \end{array}$

Tổng hai nghiệm là 1 + $(- \frac{5}{3})$ = $\frac{3}{3} + (- \frac{5}{3}) = - \frac{2}{3} .$

Vậy tổng hai nghiệm là $- \frac{2}{3} .$

Câu 11. Cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Với điểm M bất kì, khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² + IA²;

B. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² + 2 IA²;

C. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ MI² – IA²;

D. $\vec{M A} . \vec{M B} =$ 2MI² + IA².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vì I là trung điểm của AB nên ta có: $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ hay $\vec{I B} = - \vec{I A}$ .

Xét $\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{M I} + \vec{I A}) . (\vec{M I} + \vec{I B})$

$= {\vec{M I}}^{2} + \vec{M I} . \vec{I B} + \vec{M I} . \vec{I A} + \vec{I B} . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} + \vec{M I} . (\vec{I B} + \vec{I A}) + \vec{I B} . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} + (- \vec{I A}) . \vec{I A}$

$= {\vec{M I}}^{2} - {\vec{I A}}^{2}$

$= M I^{2} - I A^{2}$ .

Câu 12. Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 11,4;

B. 6,7;

C. 5,7;

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có:

$\vec{A B} = (9; - 3) \Rightarrow A B = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10} .$

$\vec{A C} (9; 6) \Rightarrow A C = \sqrt{9^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

$\vec{B C} (0; 9) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9.$

Ta lại có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 9.9 + (- 3) .6 = 3 \sqrt{10} .3 \sqrt{13} . c o s \hat{B A C}$

$\Leftrightarrow 63 = 9 \sqrt{130} . c o s \hat{B A C}$ >

$\Leftrightarrow c o s \hat{B A C} = \frac{7}{\sqrt{130}} \Leftrightarrow \hat{B A C} \approx 52, 13 ° .$

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ta được:

$\frac{B C}{\sin \hat{B A C}} = 2 R \Leftrightarrow \frac{9}{\sin 52, 13 °} = 2 R \Leftrightarrow R \approx 5, 7$ .

Câu 13. Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}| .$

A. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ ngược hướng;

B. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ cùng hướng;

C. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ vuông góc;

D. $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = - |\vec{u}| . |\vec{v}|$ thì $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{0}$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ ngược hướng.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; -3), B(5; 2). Tìm điểm M thuộc tia Oy để góc $\hat{A M B} = 90^{0} .$

A. $M (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; 0)$ ;

B. $M (\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}; 0)$ ;

C. $M (0; \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2})$ ;

D. $M (0; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Gọi M có tọa độ M(0; m).

Vì M thuộc tia Oy nên m ≥ 0.

Ta có: $\vec{A M} (- 1; m + 3), \vec{B M} (- 5; m - 2)$ .

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (- 1) . (- 5) + (m + 3) . (m - 2) = m^{2} + m - 1.$

Để $\hat{A M B} = 90^{0}$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Ta thấy $m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn) và $m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ (không thỏa mãn)

Vậy $M (0; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Câu 15. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Với điểm M bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?

A. MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC²;

B. MA² + MB² + MC² = 3MG²;

C. MA² + MB² + MC² = 3MG² + (GA + GB + GC)²;

D. MA² + MB² + MC² = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$

$= {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$

Ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = \vec{M G} . \vec{0} = 0$

$\Rightarrow M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} .$

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-3;1), B(2;4), C(2;-2). Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC. Tính S = 5x + y.

A. $\frac{6}{5}$ ;

B. $\frac{26}{5}$ ;

C. 2;

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có: $\vec{A H} (x + 3; y - 1); \vec{B C} (0; - 6); \vec{B H} (x - 2; y - 4); \vec{A C} (5; - 3)$