Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

Đường tròn $(O)$ được chia thành $20$ cung bằng nhau nên số đo mỗi cung bằng 

${360}^o:20={18}^o$

Gọi giao điểm của $A_1{A}_8$ và $A_3{A}_{16}$ là $I.$

Ta có:  $sđ\stackrel{⏜}{A_1{A}_3}$ $={2.18}^0={36}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{A_8{A}_{16}}$ $={8.18}^0={144}^o$

Ta có: $\widehat{A_{1}I{A}_3}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{A_1{A}_3}+sđ\stackrel{⏜}{A_8{A}_{16}})}$ (góc có đỉnh ở trong đường tròn $(O)$)

$\Rightarrow$ $\widehat{A_{1}I{A}_3}={\displaystyle \frac{{36}^{\circ }+{144}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }}$

$\Rightarrow A_1{A}_8\mathrm{\perp }{A}_3{A}_{16}$ 

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $AB$ thì: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\hat{C}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn. 

$\hat{C}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AmB}}$ - sđ $\stackrel{⏜}{AD}$) (tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)

 mà $sđ\stackrel{⏜}{AmB}=sđ\stackrel{⏜}{ADB}={180}^o$ 

$\hat{C}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{ADB}}$ - sđ $\stackrel{⏜}{AD}$) $={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AD}}$ + sđ $\stackrel{⏜}{DB}$ - sđ $\stackrel{⏜}{AD}$)$={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BD}}$     $(1)$

$\widehat{CDP}=\widehat{BDx}$ (đối đỉnh) $(2)$ 

$\widehat{BDx}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BD}}$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)   $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\hat{C}=\widehat{CDP}\Rightarrow \mathrm{\Delta }PCD$ cân tại $P.$

Vậy $PD=PC$

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Tính chất góc ngoài của tam giác: Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Lời giải:

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\hat{E}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

$\hat{E}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AD}-sđ\stackrel{⏜}{BC}}$)

Lại có: $sđ\stackrel{⏜}{AD}=\widehat{AOD}={144}^{\circ }$

$\Rightarrow {22}^{\circ }={\displaystyle \frac{{144}^{\circ }-sđ\stackrel{⏜}{BC}}{2}}$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BC}={144}^{\circ }-{2.22}^{\circ }={100}^{\circ }$ 

Ta có: $\widehat{BAC}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BC}}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ $\widehat{BAC}={\displaystyle \frac{1}{2}{.100}^{\circ }={50}^{\circ }}$

Trong $∆ABC$ ta có $\widehat{CBE}$ là góc ngoài tại đỉnh $B.$

$\Rightarrow$ $\widehat{CBE}=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow$ $\widehat{ACB}=\widehat{CBE}-\widehat{BAC}$$={75}^{\circ }-{50}^{\circ }={25}^{\circ }$

$\widehat{ACB}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{AOB}}$ (hệ quả góc nội tiếp)

$\widehat{AOB}=2.\widehat{ACB}={50}^{\circ }$

Vậy $\widehat{AOB}=\widehat{BAC}={50}^{\circ }$

+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $AB$ thì: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với góc ở đỉnh cũng là đường cao.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$ (vì $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{BM}=$ $\stackrel{⏜}{CM}$  $(1)$

Ta có: $\widehat{DAM}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{ACM}}$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Hay $\widehat{DAM}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CM}}$ )$(2)$

Gọi $N$ là giao điểm của $AM$ và $BC.$

Ta có: $\widehat{ANC}$ là góc có đỉnh ở trong đường tròn $(O).$

$\Rightarrow$ $\widehat{ANC}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{BM})}$$(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat{DAM}=\widehat{ANC}$ hay $\widehat{DAN}=\widehat{AND}$

Suy ra: $∆DAN$ cân tại $D$ có $DI$ là tia phân giác nên suy ra $DI$ là đường cao

$\Rightarrow$ $DI\mathrm{\perp }AN$ hay $DI\mathrm{\perp }AM$

$a)$ Chứng minh $\widehat{BIC}=\widehat{BKD}$

$b)$ Chứng minh $BC$ là tia phân giác của $\widehat{KBD}.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $AB$ thì: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

$a)$ $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{BC}=\stackrel{⏜}{CD}$  $(gt)$ $(1)$

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\widehat{BKD}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

$\Rightarrow \widehat{BKD}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{BAD}}$$-sđ\stackrel{⏜}{BCD}$)

$={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{AmD}-sđ\stackrel{⏜}{BC}}$$-sđ\stackrel{⏜}{CD}$) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \widehat{BKD}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{AmD}}$$-sđ\stackrel{⏜}{BC}$)$(3)$

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\widehat{BIC}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.  

$\Rightarrow \widehat{BIC}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (sđ $\stackrel{⏜}{AmD}$ - sđ $\stackrel{⏜}{BC}$) $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\widehat{BIC}=\widehat{BKD}$

$b)$ Xét đường tròn $(O)$ ta có:

+) $\widehat{KBC}={\displaystyle \frac{1}{2}}$sđ $\stackrel{⏜}{BC}$ (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)   $(5)$

+) $\widehat{CBD}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{CD}}$ (tính chất góc nội tiếp)        $(6)$

Từ $(1),$ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $\widehat{KBC}=\widehat{CBD}$. Vậy $BC$ là tia phân giác của $\widehat{KBD}.$

Bài tập bổ sung (trang 105 SBT Toán 9)

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $AB$ thì: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Tổng các góc trong một tứ giác bằng ${360}^o.$

Lời giải:

Ta có $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AB}$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{MA}=sđ\stackrel{⏜}{MB}$ $(1)$

Lại có: $\hat{D}={\displaystyle \frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{MAC}}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ $\hat{D}={\displaystyle \frac{1}{2}(sđ\stackrel{⏜}{MA}+sđ\stackrel{⏜}{AC}}$)  $(2)$

Và $\widehat{AEC}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (sđ $\stackrel{⏜}{MB}$ + sđ $\stackrel{⏜}{AC}$) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn)  $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\hat{D}=\widehat{AEC}$

$\widehat{AEC}+\widehat{CEF}={180}^{\circ }$ (kề bù)

$\Rightarrow$$\hat{D}+\widehat{CEF}={180}^o$ $(4)$

Trong tứ giác $CEFD$ ta có:

$\widehat{CEF}+\hat{D}+\widehat{ECD}+\widehat{EFD}={360}^o$ (tổng các góc trong tứ giác) $(5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $\widehat{ECD}+\widehat{EFD}={180}^o$