a) $7x^2-5x=0$

b) $-\sqrt{2}{x}^2+6x=0$

c) $3,4x^2+8,2x=0$

d) ${\displaystyle -\frac{2}{5}{x}^2-\frac{7}{3}x=0}$

Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích.

Lời giải:

a)

$7x^2-5x=0$$\iff x\left(7x-5\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $7x-5=0$

$\iff x=0$ hoặc $x={\displaystyle \frac{5}{7}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=0;x_2={\displaystyle \frac{5}{7}}$

 b)

$-\sqrt{2}{x}^2+6x=0$$\iff x\left(6-\sqrt{2}x\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $6-\sqrt{2}x=0$

$\iff x=0$ hoặc $x=3\sqrt{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=0;x_2=3\sqrt{2}$

 c)

$3,4x^2+8,2x=0$$\iff 34x^2+82x=0$

$\iff 2x\left(17x+41\right)=0$

$\iff 2x=0$ hoặc $17x+41=0$

$\iff x=0$ hoặc $x={\displaystyle -\frac{41}{17}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=0;x_2=-{\displaystyle \frac{41}{17}}$

d)

Lời giải chi tiết:

${\displaystyle -\frac{2}{5}{x}^2-\frac{7}{3}x=0\iff 6x^2+35x=0}$

$\iff x\left(6x+35\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $6x+35=0$

$\iff x=0$ hoặc $x={\displaystyle -\frac{35}{6}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=0;x_2=-{\displaystyle \frac{35}{6}}$

a) $5x^2-20=0$

b) $-3x^2+15=0$

c) $1,2x^2-0,192=0$

d) $1172,5x^2+42,18=0$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) $x^2=a>0\iff x=\pm \sqrt{a}$

+) $x^2\ge 0$ với $\mathrm{\forall }x.$

Lời giải:

a)

$5x^2-20=0$$\iff x^2=4$

$\iff x=2$ hoặc $x=-2$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=2;x_2=-2$

 b)

$-3x^2+15=0$$\iff x^2=5$

$\iff x=\sqrt{5}$ hoặc $x=-\sqrt{5}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=\sqrt{5};x_2=-\sqrt{5}$

 c)

$1,2x^2-0,192=0$$\iff x^2=0,16$

$\iff x=0,4$ hoặc $x=-0,4$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=0,4;x_2=-0,4$

 d)

$1172,5x^2+42,18=0$

Ta có: $x^2\ge 0;$ suy ra $1172,5x^2\ge 0;$ nên $1172,5x^2+42,18>0$ nên không có giá trị nào của $x$ để $1172,5x^2+42,18=0$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 

a) ${\left(x-3\right)}^2=4$

b) ${\left(\frac{1}{2}-x\right)}^2-3=0$

c) ${\left(2x-\sqrt{2}\right)}^2-8=0$

d) ${\left(2,1x-1,2\right)}^2-0,25=0$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình đã cho về phương trình tích.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& {\left(x-3\right)}^2=4\iff {\left(x-3\right)}^2-2^2=0\\ & \iff \left[\left(x-3\right)+2\right]\left[\left(x-3\right)-2\right]=0\\ & \iff \left(x-1\right)\left(x-5\right)=0\end{array}$

$\iff x–1=0$ hoặc $x–5=0$

$\iff x=1$ hoặc $x=5$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=1;x_2=5$

 b)

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}-x\right)}^2-3=0}$

$\iff {\displaystyle \left[\left(\frac{1}{2}-x\right)+\sqrt{3}\right]\left[\left(\frac{1}{2}-x\right)-\sqrt{3}\right]=0}$

$\iff {\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\sqrt{3}-x\right)\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}-x\right)=0}$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{3}-x=0}$ hoặc ${\displaystyle \frac{1}{2}-\sqrt{3}-x=0}$

$\iff x={\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{3}}$ hoặc $x={\displaystyle \frac{1}{2}-\sqrt{3}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1={\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{3};x_2={\displaystyle \frac{1}{2}-\sqrt{3}}}$

c)

${\left(2x-\sqrt{2}\right)}^2-8=0$$\iff {\left(2x-\sqrt{2}\right)}^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=0$

$\begin{array}{rl}& \iff \left[\left(2x-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}\right]\left[\left(2x-\sqrt{2}\right)-2\sqrt{2}\right]=0\\ & \iff \left(2x+\sqrt{2}\right)\left(2x-3\sqrt{2}\right)=0\end{array}$

⇔ $2x+\sqrt{2}=0$ hoặc $2x-3\sqrt{2}=0$

$\iff x={\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}}$ hoặc $x={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2};x_2={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}}$

 d)

${\left(2,1x-1,2\right)}^2-0,25=0$

$\iff {\left(2,1x-1,2\right)}^2-{\left(0,5\right)}^2=0$

$\iff \left(2,1x-1,2+0,5\right)\left(2,1x-1,2-0,5\right)=0$

$\iff \left(2,1x-0,7\right)\left(2,1x-1,7\right)=0$

$\iff 2,1x-0,7=0$ hoặc $2,1x-1,7=0$

$\iff x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ hoặc $x={\displaystyle \frac{17}{21}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1={\displaystyle \frac{1}{3};x_2=\frac{17}{21}}$

a) $x^2-6x+5=0$

b) $x^2-3x-7=0$

c) $3x^2-6x+5=0$.

d) $3x^2-12x+1=0$

Phương pháp giải:

+) Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức.

+) Sử dụng lý thuyết: $f^2\left(x\right)=a>0\iff f\left(x\right)=\pm \sqrt{a}$

Lời giải:

a)

$x^2-6x+5=0$

$\iff x^2-2.3x+9-4=0$

$\iff x^2-2.3x+9=4$

$\iff {\left(x-3\right)}^2=4$

$\iff x-3=2$ hoặc $x-3=-2$

$\iff x=5$ hoặc $x=1$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=5;x_2=1$

 b)

$x^2-3x-7=0$

$\iff {\displaystyle x^2-3x=7}$

$\iff {\displaystyle x^2-2.\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}=7+\frac{9}{4}}$

$\iff {\displaystyle {\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{37}{4}}$

$\iff {\displaystyle x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2}}$ hoặc $x-{\displaystyle \frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}}$

$\iff {\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{37}}{2}}$ hoặc ${\displaystyle x=\frac{3-\sqrt{37}}{2}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1={\displaystyle \frac{{\displaystyle 3+\sqrt{37}}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{37}}{2}}$

 c)

$3x^2-12x+1=0$

$\iff {\displaystyle x^2-4x+\frac{1}{3}=0}$ 

$\iff {\displaystyle x^2-4x=-\frac{1}{3}}$
$\iff {\displaystyle x^2-2.2x+4=4-\frac{1}{3}}$
$\iff {\displaystyle {\left(x-2\right)}^2=\frac{{\displaystyle 11}}{3}}$

$\iff {\displaystyle x-2=\frac{\sqrt{33}}{3}}$ hoặc $x-2=-{\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{3}}$

$\iff {\displaystyle x=2+\frac{\sqrt{33}}{3}}$ hoặc $x=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{3}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=2+{\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{3};x_2=2-\frac{\sqrt{33}}{3}}$

 d)

$3x^2-6x+5=0$

$\iff x^2-2x+{\displaystyle \frac{5}{3}=0}$ 

$\iff x^2-2x=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ 

$\iff x^2-2x+1=1-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ 
$\iff {\left(x-1\right)}^2=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Vế trái ${\left(x-1\right)}^2\ge 0$; vế phải $-{\displaystyle \frac{2}{3}<0}$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để ${\left(x-1\right)}^2=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Phương trình vô nghiệm. 

a) $x_1=2,x_2=5$

b) $x_1={\displaystyle -\frac{1}{2},x_2=3}$

c) $x_1=0,1;x_2=0,2$

d) $x_1=1-\sqrt{2},x_2=1+\sqrt{2}$

Phương pháp giải:

Dựa vào ví dụ của bài để áp dụng

Lời giải:

a)

Hai số $2$ và $5$ là nghiệm của phương trình:

$\left(x-2\right)\left(x-5\right)=0$

$\iff x^2-7x+10=0$

b)

Hai số $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ và $3$ là nghiệm của phương trình:

$\left[x-\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\right]\left(x-3\right)=0$ 
$\iff \left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\left(x-3\right)=0$ 
$\iff 2x^2-5x-3=0$

 c)

Hai số $0,1$ và $0,2$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{rl}& \left(x-0,1\right)\left(x-0,2\right)=0\\ & \iff x^2-0,3x+0,02=0\end{array}$

 d)

Hai số $1-\sqrt{2}$ và $1+\sqrt{2}$ là nghiệm của phương trình:

$\left[x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right]\left[x-\left(1+\sqrt{2}\right)\right]=0$ 
$\iff x^2-\left(1+\sqrt{2}\right)x-\left(1-\sqrt{2}\right)x$ $+\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)=0$
$\iff x^2-2x-1=0$

a) $4x^2+2x=5x-7$

b) $5x-3+\sqrt{5}{x}^2=3x-4+x^2$

c) $m{x}^2-3x+5=x^2-mx$

d) $x+m^2{x}^2+m=x^2+mx+m+2$

Phương pháp giải:

Chuyển về cùng một vế rồi rút gọn.

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: $a{x}^2+bx+c=0.$ Trong đó, $x$ là ẩn; $a,b,c$ là những số cho trước gọi là các hệ số và $a\ne 0.$

Lời giải:

a)

$4x^2+2x=5x-7$

$\iff 4x^2+2x-5x+7=0$

$\iff 4x^2-3x+7=0$ có $a=4,b=-3,c=7$

 b)

$5x-3+\sqrt{5}{x}^2=3x-4+x^2$

$\iff 5x-3+\sqrt{5}{x}^2-3x+4-x^2=0$

$\iff \left(\sqrt{5}-1\right)x^2+2x+1=0$
có $a=\sqrt{5}-1;b=2;c=1$

 c)

$m{x}^2-3x+5=x^2-mx$

$\iff m{x}^2-3x+5-x^2+mx=0$

$\iff \left(m-1\right)x^2-\left(3-m\right)x+5=0$

Với $m-1\ne$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $a=m–1;b=-(3–m);c=5$

 d)

$x+m^2{x}^2+m=x^2+mx+m+2$ 

$\iff x+m^2{x}^2+m-x^2-mx-m-2=0$ 

$\iff \left(m^2-1\right)x^2+\left(1-m\right)x-2=0$

Với $m^2-1\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $a=m^2-1,b=1-m,c=-2$

a) $x^2-3x+1=0$

b) $x^2+\sqrt{2}x-1=0$

c) $5x^2-7x+1=0$

d) $3x^2+2\sqrt{3}x-2=0$

Phương pháp giải:

Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu: 

+) $A^2+2AB+B^2=(A+B{)}^2$

+) $A^2-2AB+B^2=(A-B{)}^2$

Áp dụng:  Nếu $|f(x)|=a;(a>0)$ $\iff f(x)=a$ hoặc $f(x)=-a.$

Lời giải:

a)

$x^2-3x+1=0$

$\iff {\displaystyle x^2-2.\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}-1}$

$\iff {\displaystyle {\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}}$

$\iff {\displaystyle \left|x-\frac{3}{2}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}}$

$\iff {\displaystyle x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}}$ hoặc $x-{\displaystyle \frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}}$

$\iff {\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$ hoặc $x={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2};}$$x_2={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

b)

$x^2+\sqrt{2}x-1=0$

$\iff {\displaystyle x^2+2.\frac{\sqrt{2}}{2}x+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}$$={\displaystyle 1+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}$

$\iff {\displaystyle {\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}}$

$\iff {\displaystyle \left|x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=\frac{\sqrt{6}}{2}}$

$\iff {\displaystyle x+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}}$ hoặc $x+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}}$ hoặc $x={\displaystyle -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2};}$$x_2={\displaystyle -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}}$

 c)

$5x^2-7x+1=0$

$\iff {\displaystyle x^2-\frac{7}{5}x+\frac{1}{5}=0}$

$\iff {\displaystyle x^2-2.\frac{7}{10}x+\frac{49}{100}=\frac{49}{100}-\frac{1}{5}}$ 
$\iff {\displaystyle {\left(x-\frac{7}{10}\right)}^2=\frac{29}{100}}$

$\iff {\displaystyle \left|x-\frac{7}{10}\right|=\frac{\sqrt{29}}{10}}$

$\iff {\displaystyle x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{29}}{10}}$ hoặc $x-{\displaystyle \frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{29}}{10}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{7+\sqrt{29}}{10}}$ hoặc  $x={\displaystyle \frac{7-\sqrt{29}}{10}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1={\displaystyle \frac{7+\sqrt{29}}{10};}$$x_2={\displaystyle {\displaystyle \frac{7-\sqrt{29}}{10}}}$

 d)

$3x^2+2\sqrt{3}x-2=0$ 

$\iff {\displaystyle x^2+2.\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2}{3}=0}$ 
$\iff {\displaystyle x+2.\frac{\sqrt{3}}{3}x+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}$$={\displaystyle \frac{2}{3}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}$ 
$\iff {\displaystyle {\left(x+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2=1}$

$\iff {\displaystyle \left|x+\frac{\sqrt{3}}{3}\right|=1}$

$\iff {\displaystyle x+\frac{\sqrt{3}}{3}=1}$ hoặc $x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}=-1}$

$\iff {\displaystyle x=1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$ hoặc $x=-1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3};}$$x_2=-1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

a) $x_1=-1$ và $x_2=2$

b) $x_1=-5$ và $x_2=0$

c) $x_1=1+\sqrt{2}$ và $x_2=1-\sqrt{2}$

d) $x_1=3$ và $x_2={\displaystyle -\frac{1}{2}}$

Phương pháp giải:

+) Nếu $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^2+bx+c=0$ thì ta có $(x-x_1)(x-x_2)=0$

Lời giải:

a)

Hai số $-1$ và $2$ là nghiệm của phương trình:

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$
$\iff x^2-2x+x-2=0$ 
$\iff x^2-x-2=0$

Hệ số: $b=-1;c=-2.$

 b)

Hai số $-5$ và $0$ là nghiệm của phương trình:

$\left(x+5\right)\left(x-0\right)=0$ 
$\iff x\left(x+5\right)=0$
$\iff x^2+5x=0$

Hệ số: $b=5;c=0$

 c)

Hai số $1+\sqrt{2}$ và $1-\sqrt{2}$ là nghiệm của phương trình:

$\left[x-\left(1+\sqrt{2}\right)\right]\left[x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right]=0$ 
$\iff x^2-\left(1-\sqrt{2}\right)x-\left(1+\sqrt{2}\right)x$$+\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)=0$ 
$\iff x^2-2x-1=0$

Hệ số: $b=-2;c=-1$

 d)

Hai số $3$ và $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ là nghiệm của phương trình:

$\left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0$ 
$\iff {\displaystyle x^2+\frac{1}{2}x-3x-\frac{3}{2}=0}$ 
$\iff {\displaystyle x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}=0}$

Hệ số: $b=-{\displaystyle \frac{5}{2}};c=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$