$a)$ Chứng minh rằng $OA\perp MN.$

$b)$ Vẽ đường kính $NOC.$ Chứng minh rằng $MC//AO.$

$c)$ Tính độ dài các cạnh của tam giác $AMN$ biết $OM=3cm,$ $OA=5cm.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

$\ast$) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

$\ast$) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Lời giải:

$a)$ Xét đường tròn (O) có $AM$ và $AN$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên $AM=AN$ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác $AMN$ cân tại $A$

Mặt khác $AO$ là đường phân giác của góc $MAN$ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $AO$ là đường cao của tam giác $AMN$ (tính chất tam giác cân)

Vậy $OA\perp MN.$

$b)$ Tam giác $MNC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $NC$ là đường kính nên $\widehat{CMN}={90}^{\circ }$

suy ra: $MN\perp MC$

Mà      $OA\perp MN$ (chứng minh trên)

Suy ra:  $OA//MC$

$c)$ Ta có: $AN\perp NC$ (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $AON$ ta có:

$A{O}^2=A{N}^2+O{N}^2$

Suy ra:  $A{N}^2=A{O}^2-O{N}^2=5^2-3^2=16$

            $AN=4(cm)$

Suy ra: $AM=AN=4(cm)$

Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $MN$. Xét tam giác AMN cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân). 

Suy ra $MH=NH={\displaystyle \frac{MN}{2}}$ 

Tam giác $AON$ vuông tại $N$ có $NH\perp AO.$ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

 $OA.NH=AN.ON$$\Rightarrow NH={\displaystyle \frac{AN.ON}{AO}}$$={\displaystyle \frac{4.3}{5}=2,4(cm)}$

Từ đó: $MN=2.NH=2.2,4=4,8(cm).$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

+ $MD=ME$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ $PD=PI$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ $QI=QE$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chu vi tam giác $MPQ$ bằng:

$MP+PQ+QM$

$=MP+PI+IQ+QM$

$=MP+PD+QM+QE$

$=MD+ME$

$=2.MD$

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

* Phân tích

Giả sử đường tròn $(I)$ dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

− Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $Ox$ và $Oy$ nên điểm $I$ nằm trên tia phân giác của

 góc $xOy.$

− Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $Ox$ tại $A$ nên $I$ nằm trên đường vuông góc với

$Ox$ kẻ từ $A.$

Vậy $I$ là giao điểm của tia phân giác góc $xOy$ và đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại $A.$

* Cách dựng

− Dựng tia phân giác của góc $xOy.$

− Dựng đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại $A$ cắt tia phân giác của góc $xOy$ tại $I.$

− Dựng đường tròn $(I;IA).$

* Chứng minh

Ta có:   $Ox\perp IA$ tại $A$ nên $Ox$ là tiếp tuyến của $(I)$

Vì $I$ nằm trên tia phân giác của $xOy$ nên $I$ cách đều hai cạnh $Ox,Oy.$ Khi đó khoảng cách từ $I$ đến $Oy$ bằng $IA$ nên $Oy$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $(I).$

Vậy đường tròn $(I)$ đi qua $A$ và tiếp xúc với hai cạnh của góc $xOy.$

* Biện luận

Vì góc $xOy$ nhỏ hơn $180°$ nên góc tạo bởi một cạnh của góc với tia phân giác là góc nhọn. Khi đó đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại $A$ luôn cắt tia phân giác của góc $xOy.$

$a)$ Tính số đo góc $MON.$

$b)$ Chứng minh rằng $MN=AM+BN.$

$c)$ Chứng minh rằng $AM.BN=R^2$ $(R$ là bán kính của nửa đường tròn$).$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải:

$a)$ Gọi $H$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $MN$ với đường tròn $(O).$ Nối  $OH.$

Ta có:  $\widehat{AOH}+\widehat{BOH}={180}^{\circ }$ (hai góc kề bù)

  $OM$ là tia phân giác của góc $AOH$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

  $ON$ là tia phân giác của góc $BOH$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: $OM\perp ON$ (tính chất hai góc kề bù)

Vậy $\widehat{MON}={90}^{\circ }$

$b)$ Ta có:  $MA=MH$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$NB=NH$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà: $MN=MH+HN$

Suy ra: $MN=AM+BN$

$c)$ Tam giác $OMN$ vuông tại $O$ có $OH\perp MN$ (tính chất tiếp tuyến), theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$O{H}^2=MH.NH$

Mà: $MH=MA,NH=NB$ (chứng minh trên)

Suy ra: $AM.BN=O{H}^2=R^2$.

Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

Gọi $F$ là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC.$

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$AE=AD$

$BE=BF$

$CD=CF$

Mà: $AE=AB–BE$

$AD=AC–CD$

Nên: $AE+AD=(AB–BE)+(AC–CD)$

$=AB+AC–(BE+CD)$

$=AB+AC–(BF+CF)$

$=AB+AC–BC$

Suy ra: $AE+AD=c+b–a$

Hay:  $AE=AD={\displaystyle \frac{c+b-a}{2}}$

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Giao ba đường phân giác trong của tam giác là điểm cách đều các cạnh tam giác (tâm đường tròn nội tiếp tam giác).

+) Trong tam giác đều, giao ba đường phân giác cũng là giao ba đường trung tuyến, trung trực, đường cao.

Lời giải:

Gọi $H$ là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC.$

Ta có: $IH\perp BC$ (tính chất tiếp tuyến)

Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ nên $AI$ là tia phân giác của góc $BAC.$

Tam giác $ABC$ đều nên $AI$ cũng là đường cao của tam giác $ABC.$ Khi đó $A,I,H$ thẳng hàng.

Khi đó đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác đều ABC nên ta có: $HB=HC={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ ( tính chất tam giác đều)

Tam giác $ABC$ đều nên $I$ cũng là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Suy ra: $AH=3.HI=3.r$

$\widehat{HAB}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{BAC}}$$={\displaystyle \frac{1}{2}{.60}^{\circ }={30}^{\circ }}$ (vì $AH$ là tia phân giác của góc $BAC$)

Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên ta có:

$BH=AH.tan\widehat{HAB}=3\mathrm{r}.tan{30}^0$$={\displaystyle 3\mathrm{r}.\frac{\sqrt{3}}{3}=r\sqrt{3}}$

Mà: $BC=2.BH=2r\sqrt{3}$

Vậy $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}AH.BC}$$={\displaystyle \frac{1}{2}.3r.2r\sqrt{3}=3r^2\sqrt{3}}$ $(đvdt)$

$a)$ Tính độ dài $OH.$

$b)$ Qua điểm $M$ bất kì thuộc cung nhỏ $BC,$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt $AB$ và $AC$ theo thứ tự tại $D$ và $E.$ Tính chu vi tam giác $ADE.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: 

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

$\ast$) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

$\ast$) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với  hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

$\ast$) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

$a)$ Ta có: $AB=AC$  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $∆ABC$ cân tại A.

$AO$ là tia phân giác của góc $BAC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $AO$ là đường cao của tam giác $ABC$ (tính chất tam giác cân).

Do đó $AO$ vuông góc với $BC$ tại $H$

Lại có: $AB\perp OB$ (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác $ABO$ vuông tại $B$ có $BH\perp AO$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$O{B}^2=OH.OA$$\Rightarrow OH={\displaystyle \frac{O{B}^2}{OA}}$$={\displaystyle \frac{3^2}{5}=1,8}$ (cm)

$b)$ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ABO,$ ta có:

$A{O}^2=A{B}^2+B{O}^2$

Suy ra: $A{B}^2=A{O}^2-B{O}^2=5^2-3^2=16$

 $\Rightarrow AB=4(cm)$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$DB=DM$

$EM=EC$

Chu vi của tam giác $ADE$ bằng:

$AD+DE+EA$$=AD+DM+ME+EA$$=AD+DB+AE+EC$

$=AB+AC=2AB$ (vì $AB=AC$ (cmt))

$=2.4=8(cm).$

$a)$ Tứ giác $ABOC$ là hình gì$?$ Vì sao$?$

$b)$ Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc cung nhỏ $BC.$ Qua $M$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt $AB$ và $AC$ theo thứ tự tại $D$ và $E.$ Tính chu vi tam giác $ADE.$

$c)$ Tính số đo góc $DOE.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

$\ast$) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

$\ast$) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

$\ast$) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

$\ast$) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải:

$a)$ Ta có: $AB\perp AC\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^{\circ }$

$AB\perp BO\Rightarrow \widehat{ABO}={90}^{\circ }$

$AC\perp CO\Rightarrow \widehat{ACO}={90}^{\circ }$

Tứ giác $ABOC$ có $3$ góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Mặt khác: $AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tứ giác $ABOC$ là hình vuông.

$b)$ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$DB=DM$

$EM=EC$

Chu vi của tam giác $ADE$ bằng:

$AD+DE+EA$$=AD+DM+ME+EA$

$=AD+DB+AE+EC$

$=AB+AC=2AB$

Mà tứ giác $ABOC$ là hình vuông (chứng minh trên) nên:

$AB=OB=2(cm)$

Vậy chu vi của tam giác $ADE$ bằng: $2.2=4(cm)$

$c)$ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+ $OD$ là tia phân giác của góc $BOM$

Suy ra: $\widehat{BOD}=\widehat{DOM}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{BOM}}$

+ $OE$ là tia phân giác của góc $COM$

Suy ra: $\widehat{COE}=\widehat{EOM}={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{COM}}$

Suy ra:

$\widehat{DOE}=\widehat{DOM}+\widehat{EOM}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}(\widehat{BOM}+\widehat{COM})}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}\widehat{COB}=\frac{1}{2}{.90}^{\circ }={45}^{\circ }}$.

$a)$ Ba điểm $D,A,E$ thẳng hàng;

$b)$ $DE$ tiếp xúc với đường tròn có đường kính $BC.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: 

$\ast$) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

$\ast$) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Lời giải:

$a)$ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+ $AB$ là tia phân giác của góc $HAD$  

Suy ra: $\widehat{DAB}=\widehat{BAH}$

+ $AC$ là tia phân giác của góc $HAE$

Suy ra: $\widehat{HAC}=\widehat{CAE}$

Ta có: $\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=2(\widehat{BAH}+\widehat{HAC})$$=2.\widehat{BAC}={2.90}^{\circ }={180}^{\circ }$

Vậy ba điểm $D,A,E$ thẳng hàng.

$b)$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: $AD\mathrm{\perp }BD;AE\mathrm{\perp }CE$

Suy ra: $BD//CE$

Vậy tứ giác $BDEC$ là hình thang.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $A$ là trung điểm của $DE$ (vì DE là đường kính đường tròn (A))

Nên $MA$ là đường trung bình của hình thang $BDEC$

Suy ra: $MA//BD\Rightarrow MA\mathrm{\perp }DE$ (vì $BD\mathrm{\perp }DE$)

Trong tam giác vuông $ABC$ có AM là đường trung tuyến nên ta có: $MA=MB=MC={\displaystyle \frac{BC}{2}}$

Suy ra $M$ là tâm đường tròn đường kính $BC$ với $MA$ là bán kính

Vậy $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $M$ đường kính $BC.$

Phương pháp giải:

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $\mathrm{\Delta }ABC$.

Để tính diện tích tam giác $\mathrm{\Delta }ABC$ ta tính diện tích các tam giác $\mathrm{\Delta }IAB,$$\mathrm{\Delta }IBC,$$\mathrm{\Delta }ICA.$

Lời giải:

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Nối $IA,IB,IC.$

Khoảng cách từ tâm $I$ đến các tiếp điểm là đường cao của các tam giác $IAB,IAC,IBC.$

Ta có: $S_{ABC}=S_{IAB}+S_{IAC}+S_{IBC}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}.AB.r+\frac{1}{2}.AC.r+\frac{1}{2}.BC.r}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}(AB+AC+BC).r}$

Mà $AB+AC+BC=2p$

Nên $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}.2p.r=p.r}$

$a)$ Tứ giác $ADOE$ là hình gì$?$ Vì sao$?$

$b)$ Tính bán kính của đường tròn $(O)$ biết $AB=3cm,AC=4cm$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+) Định lí Py-ta-go: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

Vì đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác $ABC$ nên AB, BC, AC là các tiếp tuyến của đường tròn. 

Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (O) với tiếp tuyến BC.

$a)$ Ta có: $OD\mathrm{\perp }AB\Rightarrow \widehat{ODA}={90}^{\circ }$

$OE\mathrm{\perp }AC\Rightarrow \widehat{OEA}={90}^{\circ }$

$\widehat{BAC}={90}^{\circ }$ (gt)

Tứ giác $ADOE$ có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Lại có: $AD=AE$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy tứ giác $ADOE$ là hình vuông.

$b)$ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ABC$ ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=25$

Suy ra: $BC=5(cm)$

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$AD=AE$

$BD=BF$

$CE=CF$

Mà: $AD=AB–BD$

$AE=AC–CE$

Suy ra:    $AD+AE=AB–BD+(AC–CE)$

$=AB+AC–(BD+CE)$

$=AB+AC–(BF+CF)$

$=AB+AC–BC$

Suy ra:    $AD=AE={\displaystyle \frac{AB+AC-BC}{2}}$$={\displaystyle \frac{3+4-5}{2}=1(cm)}$

Vì tứ giác $ADOE$ là hình vuông nên  $OD=DA=1cm$

Vậy bán kính của đường tròn $(O)$ là $1cm.$

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm của cạnh huyền $BC.$

Ta có:    $BC=2R$

Giả sử đường tròn tâm $(O)$ nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB tại $D,AC$ tại $E$ và $BC$ tại $F.$

Ta có: $OD\mathrm{\perp }AB\Rightarrow \widehat{ODA}={90}^{\circ }$

$OE\mathrm{\perp }AC\Rightarrow \widehat{OEA}={90}^{\circ }$

$\widehat{BAC}={90}^{\circ }$ (gt)

Tứ giác $ADOE$ có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Lại có: $AD=AE$ (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)

Vậy tứ giác $ADOE$ là hình vuông.

Suy ra: $AD=AE=EO=OD=r$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+) $AD=AE$

+) $BD=BF$

+) $CE=CF$

Ta có: $2R+2r=BC+AD+AE$$=BF+FC+AD+AE$

$=(BD+AD)+(AE+CE)$

$=AB+AC$

Vậy $AB+AC=2(R+r).$

$a)$ $AE=AF={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$

$b)$ $BE={\displaystyle \frac{a+b-c}{2};}$

$c)$ $CF={\displaystyle \frac{a+c-b}{2}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

$a)$ Gọi $D$ là tiếp điểm của đường tròn $(K)$ với cạnh $BC.$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$BE=BD;CD=CF$

Mà: $AE=AB+BE$

     $AF=AC+CF$

Suy ra:   $AE+AF=AB+BE+AC+CF$

$=AB+AC+(BD+DC)$

 $=AB+AC+BC=c+b+a$

Mà $AE=AF$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: ${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{E}=\mathrm{A}\mathrm{F}=\frac{a+b+c}{2}}$

$b)$ Ta có: $BE=AE–AB$$={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}}$

$c)$ Ta có: $CF=AF–AC$$={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}-b=\frac{a+c-b}{2}.}$

$a)$ Chứng minh rằng đường tròn có đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB.$

$b)$ Tìm vị trí của điểm $M$ để hình thang $ABDC$ có chu vi nhỏ nhất.

$c)$ Tìm vị trí của $C,D$ để hình thang $ABDC$ có chu vi bằng $14cm,$ biết $AB=4cm.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

$\ast$) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

$\ast$) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

$\ast$) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải:

$a)$ Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

$Ax\perp AB$

$By\perp AB$

Suy ra: $Ax//By$ hay $AC//BD$

Suy ra tứ giác $ABDC$ là hình thang

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$

Khi đó $OI$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$

Suy ra: $OI//AC\Rightarrow OI\perp AB$ tại O

Vì $OC$ và $OD$ lần lượt là phân giác của $\widehat{AOM}$ và $\widehat{BOM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà $\widehat{AOM}$ và $\widehat{BOM}$ là hai góc kề bù nên $OC\perp OD$ ( tính chất hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat{COD}={90}^{\circ }$

Xét tam giác COD vuông tại O có OI là trung tuyến

Suy ra: ${\displaystyle IC=ID=IO=\frac{1}{2}CD}$ ( tính chất tam giác vuông)

Suy ra $I$ là tâm đường tròn đường kính $CD.$ Khi đó $O$ nằm trên đường tròn tâm $I$ đường kính $CD$ và $IO$ vuông góc với $AB$ tại $O.$

Vậy đường tròn có đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB$ tại $O.$

$b)$ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$CA=CM$

$BD=DM$

Suy ra: $AC+BD=CM+DM=CD$

Chu vi hình thang $ABDC$ bằng:

$AB+BD+DC+CA=AB+2CD$

Vì đường kính $AB$ của $(O)$ không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi $CD$ nhỏ nhất.

Ta có: $CD\ge AB$ nên $CD$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $CD=AB$

Khi đó $CD//AB\iff OM\perp AB$ 

Vậy khi $M$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $O$ với nửa đường tròn $(O)$ thì hình thang $ABDC$ có chu vi nhỏ nhất.

$c)$ Chu vi hình thang $ABDC$ bằng: $AB+2CD$ (chứng minh trên)

Suy ra: $14=4+2.CD\Rightarrow CD=5(cm)$

Hay $CM+DM=5$$\Rightarrow DM=5–CM(1)$

Tam giác $COD$ vuông tại $O$ có $OM\perp CD$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$O{M}^2=CM.DM$$\iff 2^2=CM.DM$$\iff 4=CM.DM(2)$

Thay $(1)$ và $(2)$ ta có: $CM.(5–CM)=4$

$\iff 5CM–C{M}^2–4=0$ 

$\iff 4CM–C{M}^2+CM–4=0$

$\iff CM(4–CM)+(CM–4)=0$

$\iff CM(4–CM)–(4–CM)=0$

$\iff (CM–1)(4–CM)=0$

$\iff CM–1=0$ hoặc $4–CM=0$

$\iff CM=1$ hoặc $CM=4$

Vì $CM=CA$ (chứng minh trên) nên $AC=1(cm)$ hoặc $AC=4(cm)$

Vậy điểm $C$ cách điểm $A$ là $1cm$ hoặc $4cm$ thì hình thang $ABDC$ có chu vi bằng $14.$

$a)$  $MN\perp AB;$

$b)$ $MN=NH.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Sử dụng hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác  và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

+)  Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Sử dụng định lí Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải:

$a)$ Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

$Ax\perp AB$

$By\perp AB$

Suy ra: $Ax//By$ hay $AC//BD$

Trong tam giác $BND,$ ta có: $AC//BD$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)      $(1)$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$AC=CM$ và $BD=DM(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: ${\displaystyle \frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}}$

Trong tam giác $ACD,$ ta có: ${\displaystyle \frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}}$

Suy ra: $MN//AC$ ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: $AC\perp AB$ $($vì $Ax\perp AB)$

Suy ra: $MN\perp AB$

$b)$ Trong tam giác $ACD,$ ta có: $MN//AC$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DA}}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)     $(3)$

Trong tam giác $ABC,$ ta có: $NH//AC$ ( vì $M,N,H$ thẳng hàng)

Suy ra: ${\displaystyle \frac{HN}{AC}=\frac{BN}{BC}}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)       $(4)$

Trong tam giác $BDN,$ ta có: $AC//BD$

Suy ra: ${\displaystyle \frac{ND}{NA}=\frac{BN}{NC}}$ (Hệ quả định lí Ta-lét)

${\displaystyle \Rightarrow \frac{ND}{DN+NA}=\frac{BN}{BN+NC}}$

${\displaystyle \iff \frac{ND}{DA}=\frac{BN}{BC}}$           $(5)$

Từ $(3),(4)$ và $(5)$ suy ra: ${\displaystyle \frac{MN}{AC}=\frac{HN}{AC}\Rightarrow MN=HN}$.

Sử dụng kiến thức: 

+)  Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Gọi $E$ và $F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với $AB$ và $AC.$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$AE=AF$ 

$BE=BD$

$CD=CF$

Ta lại có: $BD=BC-CD$

$BE=AB–AE$

Suy ra: $BD+BE=AB+BC–(AE+CD)$

$=AB+BC–(AF+CF)$

$=AB+BC–AC$

Suy ra: $BD={\displaystyle \frac{AB+BC-AC}{2}}$

Lại có: $CD=BC–BD$

$CF=AC=AF$

Suy ra: $CD+CF$$=BC+AC–(BD+AF)$

$=BC+AC–(BE+AE)$

$=BC+AC–BA$

Suy ra: $CD={\displaystyle \frac{BC+AC-AB}{2}}$

Ta có:  $BD.CD$$={\displaystyle \frac{AB+BC-AC}{2}.\frac{BC+AC-AB}{2}}$

${\displaystyle =\frac{\left[BC-(AC-AB)\right]\left[BC+(AC-AB)\right]}{4}}$

${\displaystyle =\frac{B{C}^2-{(AC-AB)}^2}{4}}$

$={\displaystyle \frac{B{C}^2-A{C}^2-A{B}^2+2AB.AC}{4}}$  $(1)$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $ABC,$ ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $BD.CD={\displaystyle \frac{2AB.AC}{4}}$$={\displaystyle \frac{AB.AC}{2}}$

Mà $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}AB.AC}$

Vậy $S_{ABC}=BD.DC.$

Bài tập bổ sung (trang 166,167 SBT Toán 9)

$(A)$ $r\sqrt{3};$                $(B)$ $2r\sqrt{3};$ 

$(C)$ $4r;$                  $(D)$ $2r.$

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác đều, giao ba đường phân giác cũng là giao ba đường trung tuyến, trung trực, đường cao.

+) Hệ thức lượng trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với cotang góc kề.

Lời giải:

Giả sử  $\mathrm{\Delta }ABC$ đều ngoại tiếp đường tròn $(I,r)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Khi đó A, I, H thẳng hàng và $AH\mathrm{\perp }BC$ (vì tam giác ABC đều)

Ta có I cũng là trọng tâm tam giác đều ABC 

$\Rightarrow AH=3IH=3r$

Xét tam giác vuông $ABH,$ có:

$BH=AH.cot\hat{B}=AH.\cot {60}^o$

$=3r.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}=r.\sqrt{3}$

$\Rightarrow BC=2BH=2r.\sqrt{3}$

Vậy chọn $(B).$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có các cặp cạnh song song là hình bình hành.

+) Hình bình hành có đường chéo là tia phân giác các góc trong là hình thoi.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Lời giải:

Ta có: $OD//AB(gt)\Rightarrow OD//AE$

$OE//AC(gt)\Rightarrow OE//AD$

$\Rightarrow ADOE$ là hình bình hành.

Mà $AO$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) hay $AO$ phân giác góc $\hat{A}$ 

Vậy $ADOE$ là hình bình hành có $AO$ là đường phân giác của góc $A$ nên $ADOE$ là hình thoi.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có AB là tiếp tuyến tại B nên $OB\perp AB$ (tính chất tiếp tuyến) 

Mà $AB//CD(gt)$ nên $OB\perp CD.$

Gọi $H$ là giao điểm của $BO$ và $CD$ thì $BH\perp CD.$

Xét đường tròn (O) có $BH\perp CD$ mà BH là 1 phần đường kính và CD là dây cung nên suy ra $HC=HD$ (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Vì $BH\perp CD$ tại H là trung điểm của CD nên BH là đường trung trực của CD

Do đó $BC=BD$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).